Klokkepolynomier

I matematik , især i kombinatorik , er klokkepolynomier polynomier af formen

B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots,x_{n-k+1})=\sum {n!  \over j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_{1} \over 1!}\right)^{j_{1}}\left( {x_{2} \over 2!}\right)^{j_{2}}\cdots \left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{ j_{n-k+1}},

hvor summen overtages alle sekvenser j 1 , j 2 , j 3 , ..., j n − k +1 af ikke-negative heltal, således at

j_{1}+j_{2}+\cdots =k

j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots =n.

Klokkepolynomier er opkaldt efter matematikeren E. Bell .

Komplet klokkepolynomier

Sum

B_{n}(x_{1},\dots,x_{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2} ,\dots ,x_{n-k+1})

kaldes nogle gange det n'te komplette Klokkepolynomium . For at skelne det fra komplette Bell-polynomier, bliver Bn, k - polynomier defineret ovenfor nogle gange omtalt som "delvise" Bell-polynomier.

Komplette klokkepolynomier opfylder følgende betingelser:

B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}x_{1}&{n-1 \choose 1}x_{2}&{n -1 \vælg 2}x_{3}&{n-1 \vælg 3}x_{4}&{n-1 \vælg 4}x_{5}&\cdots &\cdots &x_{n}\\\\ -1&x_{1}&{n-2 \choose 1}x_{2}&{n-2 \choose 2}x_{3}&{n-2 \choose 3}x_{4}&\cdots &\cdots &x_{n-1}\\\\0&-1&x_{1}&{n-3 \choose 1}x_{2}&{n-3 \choose 2}x_{3}&\cdots &\cdots &x_{ n-2}\\\\0&0&-1&x_{1}&{n-4 \vælg 1}x_{2}&\cdots &\cdots &x_{n-3}\\\\0&0&0&-1&x_{1}& \cdots &\cdots &x_{n-4}\\\\0&0&0&0&-1&\cdots &\cdots &x_{n-5}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&0&\cdots &-1&x_{1}\end{bmatrix}}.

Kombinatorisk fortolkning

Hvis i en partition med et tal n optræder udtrykket 1 j 1 gange, 2 optræder j 2 gange osv., så er antallet af partitioner af et sæt af kardinalitet n , hvor kardinaliteterne af delene danner denne partition af n lig med til den tilsvarende koefficient for Bell-polynomiet.

Eksempler

For n = 6 har vi k = 2

B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_ {2}+10x_{3}^{2}

fordi det er

6 måder at opdele et sæt af kardinalitet 6 i undersæt af kardinaliteter 5 + 1,
15 måder at opdele et sæt af kardinalitet 6 i undersæt af kardinaliteter 4 + 2,
10 måder at opdele et sæt af kardinalitet 6 i undersæt af kardinaliteter 3 + 3.

Ligeledes,

B_{6,3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=15x_{4}x_{1}^{2}+60x_{3}x_{ 2}x_{1}+15x_{2}^{3}

fordi det er

15 måder at opdele et sæt kardinaliteter på 6 i undersæt af kardinaliteter på 4 + 1 + 1, 60 måder at opdele et sæt kardinaliteter på 6 i undersæt af kardinaliteter på 3 + 2 + 1, og 15 måder at opdele et sæt af kardinalitet 6 i undersæt af kardinalitet 2 + 2 + 2.

Egenskaber

$B_{n,k}(1!,2!,\dots ,(n-k+1)!)={\binom {n}{k)){\binom {n-1}{k- 1}}(nk)!$

Forholdet til Stirling- og Bell-numre

Værdien af klokkepolynomiet B n , k ( x 1 , x 2 , …), hvor alle x i er lig med 1 er et Stirlingtal af den anden slags :

B_{n,k}(1,1,\dots )=S(n,k)=\venstre\{{n \top k}\right\}.

Sum

\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(1,1,1,\dots )=\sum _{k=1}^{n}\venstre\{{n \top k}\right\}

er det n'te klokkenummer ( antallet af partitioner i et sæt af kardinalitet n ).

Konvolutionsidentitet

For sekvensen x n , y n , n = 1, 2, … er foldning defineret :

(x\diamondsuit y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{n \choose j}x_{j}y_{nj}.

(Bemærk, at summeringsgrænserne her er 1 og n − 1, ikke 0 og n .)

Antag, at der er et n'te medlem af sekvensen ${\displaystyle x_{n}^{k\diamondsuit ))$

\displaystyle \underbrace {x\diamondsuit \cdots \diamondsuit x} _{k\ \mathrm {faktorer} }.

Derefter

B_{n,k}(x_{1},\dots,x_{n-k+1})={x_{n}^{k\diamondsuit } \over k!}.

Lad os f.eks. beregne . Fordi $B_{4,3}(x_{1},x_{2})$

x=(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ldots ),

x\diamondsuit x=(0,\ 2x_{1}^{2}\ ,\ 6x_{1}x_{2}\ ,\ 8x_{1}x_{3}+6x_{2}^{2 }\ ,\ldots ),

x\diamondsuit x\diamondsuit x=(0,\ 0,\​6x_{1}^{3},\ 36x_{1}^{2}x_{2},\ldots ),

derefter

B_{4,3}(x_{1},x_{2})={\frac {(x\diamondsuit x\diamondsuit x)_{4}}{3!)}}=6x_{1} ^ {2}x_{2}.

Ansøgninger

Faa di Brunos formel

Faa di Bruno-formlen kan formuleres i form af klokkepolynomier som følger:

{d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=0}^{n}f^{(k)}(g(x)) B_{n,k}\venstre(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\højre).

Vi kan også bruge Bell polynomier if

f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\qquad

\qquad g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n},

derefter

g(f(x))=\sum _{n=1}^{\infty }{\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{ 1},\dots ,a_{n-k+1}) \over n!}x^{n}.

Især optræder komplette klokkepolynomier i udvidelsen af eksponenten af en formel potensrække

\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{ \infty }{B_{n}(a_{1},\dots,a_{n}) \over n!}x^{n}.

Momenter og kumulanter

Sum

B_{n}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(\kappa _{1 },\dots ,\kappa _{n-k+1})

er det n . moment af sandsynlighedsfordelingen , hvoraf de første n kumulanter er lig med κ 1 , … , κ n . Med andre ord er det n'te moment lig med værdien af det n'te komplette klokkepolynomium på de første n kumulanter.

Repræsentation af polynomielle sekvenser af binomial type

For en given talfølge sætter vi a 1 , a 2 , a 3 , …

p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{ k}.

Så er denne sekvens af polynomier af binomial type , dvs. det opfylder de binomiale betingelser

p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{nk}(y)

for n ≥ 0. Sætning: Alle polynomiske sekvenser af binomial type er repræsenteret i denne form.

Hvis vi overvejer

{\displaystyle h(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n))

som en formel potensrække, så for alle n ,

h^{-1}\left({d \over dx}\right)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).

Software

Klokkepolynomier, komplette Klokkepolynomier og generaliserede Klokkepolynomier er implementeret i Mathematica som BellY Arkiveret 20. marts 2014 på Wayback Machine .

Kilder

Eric Temple Bell . Partition Polynomials (neopr.) // Annals of Mathematics . — 1927–1928. - T. 29 , nr. 1/4 . - S. 38-46 . - doi : 10.2307/1967979 . — .
Louis Konkurrence . Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions (engelsk) . - Dordrecht, Holland / Boston, USA: Reidel Publishing Company, 1974.
Steven Roman Umbralregningen (neopr.) . — Dover Publikationer .
Khristo N. Boyadzhiev. Eksponentielle polynomier, stirlingtal og evaluering af nogle gamma-integraler // Abstrakt og anvendt analyse : journal. - 2009. - Bd. 2009 _ — P. Artikel ID 168672 . - doi : 10.1155/2009/168672 . (indeholder også elementær gennemgang af konceptet Bell-polynomials)
Silvia Noschese, Paolo E. Ricci. Differentiering af multivariable sammensatte funktioner og klokkepolynomier // Journal of Computational Analysis and Applications: tidsskrift. - 2003. - Bd. 5 , nr. 3 . - S. 333-340 . - doi : 10.1023/A:1023227705558 . '
Vassily G. Voinov, Mikhail S. Nikulin. Om potensserier, klokkepolynomier, Hardy-Ramanujan-Rademacher-problemet og dets statistiske anvendelser (engelsk) // Kybernetika : journal. - 1994. - Bd. 30 , nej. 3 . - S. 343-358 . — ISSN 00235954 .
Kruchinin, VV, 2011 , Afledning af klokkepolynomier af anden slags arkiveret 11. september 2015 på Wayback Machine ( ArXiv )
Forelæsningsnotater Arkiveret 4. marts 2016 på Wayback Machine på klokkepolynomier, eksempler