Poder Trekant
Undervognstrekanten (også pedaltrekanten og fremspringstrekanten [1] ) af en punktrelativ er en trekant, hvis toppunkter er basen af de perpendikulære, der falder fra punktet til trekantens sider (eller deres forlængelser).
Relaterede definitioner
- Den omskrevne omkreds af en subdermal trekant kaldes subderma eller pedalcirkel .
- En trekant med toppunkter ved det andet skæringspunkt mellem tre linjer trukket gennem hjørnerne af en subdermal trekant og et givet punkt , med en omskrevet cirkel, kaldes periferisk trekant .
Egenskaber
- Den cevianske omkredstrekant af et punkt ligner dens subdermale trekant. [2] .
- Toppunkterne i den subdermale trekant deler de tre sider af den oprindelige trekant i seks segmenter, således at summen af kvadraterne på tre af dem, som ikke har fælles ender, er lig med summen af kvadraterne af de tre andre, hvilket har heller ikke fælles ender [3] .
- Det omvendte er også sandt: Hvis tre punkter på de tre sider af den oprindelige trekant er valgt, så de deler siderne i seks segmenter, og summen af kvadraterne på tre af dem, som ikke har fælles ender, er lig med summen af kvadraterne af de tre andre, som heller ikke har fælles ender, så er disse tre punkter hjørner af en eller anden subdermal trekant [4] . I særdeleshed:
- De tre højder af en trekant skærer hinanden i et punkt (ved ortocentret )
- Tre medianperpendikulære (mediatriser) til trekantens sider skærer hinanden i et punkt (i midten af den omskrevne cirkel )
- Tre vinkelrette sider på siderne af en trekant, tegnet ved deres kontaktpunkter med tre cirkler , skærer hinanden i et punkt.
- Det omvendte er også sandt: Hvis tre punkter på de tre sider af den oprindelige trekant er valgt, så de deler siderne i seks segmenter, og summen af kvadraterne på tre af dem, som ikke har fælles ender, er lig med summen af kvadraterne af de tre andre, som heller ikke har fælles ender, så er disse tre punkter hjørner af en eller anden subdermal trekant [4] . I særdeleshed:
Særlige tilfælde af undertrekanter
Degenereret subdermal trekant
- Den subdermale trekant af et punkt degenererer til en lige linje (i figuren er den blå), hvis og kun hvis den er placeret på trekantens omskrevne cirkel . I dette tilfælde kaldes linjen, der indeholder den subdermale trekant, Simsons linje .
Ligesidet subdermal trekant
- Den subdermale trekant af Apollonius-punktet er en ligesidet trekant .
En ortocentrisk trekant som en undertrekant
- Den subdermale trekant af orthocenteret er en ortocentrisk trekant .
Median trekant som subdermal trekant
Mediantrekanten ( komplementær trekant ) er undertrekanten af midten af den omskrevne cirkel i den oprindelige trekant.
Undercirkler af to isogonalt konjugerede punkter i en trekant
- To punkter i en trekant er isogonalt konjugeret , hvis og kun hvis produkterne af deres tre afstande til trekantens tre sider er lige store [5] .
- Poder-cirkler af to isogonalt konjugerede punkter falder sammen [5] .
- Især er den subdermale cirkel af orthocenteret og midten af den omskrevne cirkel (som to isogonalt konjugerede punkter i en trekant) Euler-cirklen .
Se også
Noter
- ↑ Zetel, 1962 , s. 136.
- ↑ Opgave 108130 . Hentet 1. september 2015. Arkiveret fra originalen 4. marts 2016.
- ↑ Zetel, 1962 , s. 126, sætning, s. 137.
- ↑ Zetel, 1962 , s. 126, omvendt sætning, s. 136.
- ↑ 1 2 Zetel, 1962 , s. 80, s. 97.
Litteratur
- Zetel S.I. Ny trekantgeometri. En guide til lærere. — 2. udgave. — M .: Uchpedgiz , 1962.