Wicks tur

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 26. juni 2016; checks kræver 3 redigeringer .

Wick-rotation er en metode til at løse problemer i Minkowski-rummet ved at løse et koblet problem i det euklidiske rum ved hjælp af kompleks analyse , især begrebet analytisk fortsættelse . Opkaldt efter Giancarlo Vica .

Oversigt

Wick-rotationen er baseret på den observation, at metrikken for Minkowski-rummet er:

ds^{2}=-(dt^{2})+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}

bliver metrikken for det firedimensionelle euklidiske rum:

ds^{2}=d\tau ^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}

hvis koordinaten kun tager imaginære værdier . Det vil sige, at problemet i Minkowski-rummet med koordinater , , , , ved at erstatte , kan reduceres til et problem i det virkelige euklidiske rum med koordinater , , , . $t$ $x$ $y$ $z$ $t$ $t=i\tau$ $x$ $y$ $z$ $\tau$

Statistisk og kvantemekanik

Wick's rotation relaterer statistisk mekanik til kvantemekanik ved at erstatte den gensidige temperatur med imaginær tid . Overvej et stort antal harmoniske oscillatorer ved temperatur . Den relative sandsynlighed for at finde en given oscillator i en tilstand med energi er , hvor er Boltzmann-konstanten. Middelværdien af det observerede : $1/(k_{B}T)$ $it/\hbar$ $T$ $E$ $\exp(-E/k_{B}T)$ $k_B$ $Q$

\langle Q\rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{j}Q(j)e^{-E_{j}/(k_{B}T)}.

Vi betragter nu en kvanteharmonisk oscillator i en superposition af basistilstande, over tid med Hamiltonian . Den relative ændring i basistilstandens faser med energi er, hvor er den reducerede Planck-konstant. Sandsynlighedsamplituden for, at den samme superposition af tilstande fører til en vilkårlig superposition , er, udeladt den normaliserende faktor, $t$ $H$ $E$ $\exp(-Eit/\hbar ),$ $\hbar$ $|\psi \rangle =\sum _{j}|j\rangle$ $|Q\rangle =\sum _{j}Q_{j}|j\rangle$

\;\langle Q|e^{{-iHt/\hbar }}|\psi \rangle

=\sum _{j}Q_{j}e^{{-E_{j}it/\hbar }}\langle j|j\rangle

=\sum _{j}Q_{j}e^{{-E_{j}it/\hbar }}.

Statik og dynamik

Wicks rotation forbinder statiske problemer i dimensioner med dynamiske problemer i dimensioner, "erstatter" en rumlig dimension med tid. I det tilfælde, hvor et eksempel ville være en hængende snor med faste ender i et gravitationsfelt . Formen af en buet snor . Strengen er i ligevægt, når energien er på sit yderste; dette ekstremum er normalt minimum, så dette kaldes "princippet om mindst energi". For at beregne strengenergien integrerer vi energitætheden: $n$ $n-1$ $n=2$ $y(x)$

E=\int _{x}\left[k\left({\frac {dy(x)}{dx}}\right)^{2}+V(x)\right]dx,

hvor er strengens elasticitetskoefficient og er tyngdekraftens potentielle energi . $k$ $V(x)$

Den tilsvarende dynamiske opgave er at kaste en sten opad; på stenens bane, i overensstemmelse med " princippet om mindste handling ", nås et lokalt minimum af handlingen (handlingen er integralet af Lagrange-funktionen):

S=\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(t)}{dt))\right)^{2}-V(t)\right]dt

Vi fik løsningen af det dynamiske problem (op til en faktor ) fra løsningen af det statiske ved at bruge vægens rotation, erstattet med , med , og elasticitetskoefficienten med stenens masse : $-jeg$ $x$ $t$ $dx$ $idt$ $k$ $m$

-iS=\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(t)}{idt}}\right)^{2}+V(t)\right](idt)

=-i\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(t)}{dt))\right)^{2}-V(t)\right]dt

Wicks tur

Oversigt

Statistisk og kvantemekanik

Statik og dynamik

Links