Berezinsky - Kosterlitz - Taules krydsning

Kosterlitz-Thouless-overgang eller Berezinsky-Kosterlitz-Thouless-overgang (BKT-overgang) eller topologisk faseovergang - faseovergang i en todimensionel XY-model. Dette er en overgang fra tilstanden af koblede vortex-antivortex-par ved lave temperaturer til tilstanden med uparrede hvirvler og antivirvler ved en eller anden kritisk temperatur. Overgangen er opkaldt efter fysikerne i det kondenserede stof Vadim Lvovich Berezinsky , John M. Kosterlitz og David J. Thouless . BKT-overgange kan observeres i nogle 2D-systemer i kondenseret stoffysik, der er tilnærmet af XY-modellen ( topologisk fase af stof ), herunder i en række Josephson-forbindelser og i tynde superledende granulære film. Dette udtryk bruges også som navn for fastgørelse af Cooper -par i isoleringstilstand på grund af ligheden med den sædvanlige BKT-hvirvelovergang.

XY model

XY-modellen er en todimensionel vektorspin -model, der har U(1) -symmetri . Dette system forventes ikke at have en normal andenordens faseovergang . Dette skyldes, at systemets forventede ordnede fase ødelægges af tværgående vibrationer, det vil sige Goldstone-tilstande (se Goldstone-boson ), der er forbundet med at bryde denne kontinuerte symmetri , som divergerer logaritmisk, efterhånden som systemets størrelse øges. Dette er et særligt tilfælde af Mermin-Wagner-sætningen for spinsystemer.

Denne overgang er ikke blevet grundigt undersøgt, men eksistensen af to faser blev bekræftet af McBryan og Spencer (1977) og Fröhlich og Spencer (1981).

BKT-overgang: uordnede faser med forskellige korrelationer

I XY-modellen i to dimensioner observeres andenordens faseovergang ikke. Der er dog en lavtemperatur kvasiordnet fase med en korrelationsfunktion (se statistisk mekanik ), der aftager med afstanden i en potenslov og afhænger af temperaturen. Overgangen fra en højtemperatur-uordnet fase med eksponentiel korrelation til denne lavtemperatur-kvasiordnede fase kaldes en BKT-overgang. Dette er en faseovergang af uendelig rækkefølge.

Hvirvlernes rolle

I den todimensionelle XY-model er hvirvler topologisk stabile konfigurationer. Det er blevet fastslået, at den højtemperatur-uordnede fase med eksponentiel korrelation skyldes dannelsen af hvirvler. Vortexdannelse bliver termodynamisk gunstig ved den kritiske temperatur af BKT-overgangen. Under denne temperatur har korrelationen form af en magtlov. $T_{c}$

I mange systemer med BKT-overgange henfalder koblede antiparallelle hvirvelpar, kaldet vortex-antivortex-par, til ukoblede hvirvler i stedet for hvirveldannelse. [1] [2] I sådanne systemer forekommer termisk generering af hvirvler med et lige antal hvirvler med modsat fortegn. Bundet vortex-antivortex-par har mindre energi og entropi end ubundne hvirvler. For at minimere den frie energi gennemgår systemet en overgang ved en kritisk temperatur . Nedenfor er der kun koblede vortex-antivortex-par. Frie hvirvler er observeret ovenfor . $F=E-TS$ $T_{c}$ $T_{c}$ $T_{c}$

Uformel beskrivelse

Der er en elegant termodynamisk beskrivelse af BKT-overgangen. Energien af en enkelt hvirvel har formen , hvor er en parameter afhængig af systemet, hvori hvirvelen er placeret, er størrelsen af systemet, og er radius af hvirvelkernen. Det antages at . Antallet af mulige positioner for enhver hvirvel i systemet er ca. Ifølge Boltzmanns lov er entropi lig , hvor er Boltzmanns konstant . Således er Helmholtz frie energi $\kappa \ln(R/a)$ $\kappa$ $R$ $-en$ $R\gg a$ $(R/a)^{2}$ $S=2k_{B}\ln(R/a)$ $k_B$

F=E-TS=(\kappa -2k_{B}T)\ln(R/a).

Ved vil systemet ikke have hvirvler. Men hvis , så er denne betingelse tilstrækkelig til eksistensen af hvirvler. Lad os bestemme overgangstemperaturen for . Kritisk temperatur $F>0$ $F<0$ $F=0$ $T_{c}$

T_{c}={\frac {\kappa }{2k_{B))}.

Hvirvler kan dannes over denne kritiske temperatur, men ikke under. BKT-krydset kan observeres eksperimentelt i et 2D-array af Josephson-kryds ved at måle strøm og spænding. Ovenstående forhold vil være lineært . Lidt lavere vil forholdet mellem spænding og strøm tage form , mens antallet af frie hvirvler vil vokse som . Dette spring fra lineær til kubisk er indikativ for en BKT-overgang og kan bruges til at bestemme . Denne tilgang blev brugt i papiret af Reznik et al . [3] for at bekræfte BKT-overgangen i en række koblede på grund af nærhedseffekten af Josephson-kryds. $T_{c}$ $V\sim I$ $T_{c}$ $V\sim I^{3}$ $I^{2}$ $T_{c}$

Strenge analyse

Lad et felt φ være givet på planet, som tager værdier i S 1 . For nemheds skyld arbejder vi med dets universelle dæksel R , der identificerer to vilkårlige værdier af φ( x ), der adskiller sig med et heltal gange 2π.

Energi er givet af

E=\int {\frac {1}{2}}\nabla \phi \cdot \nabla \phi \,d^{2}x.

Boltzmann-faktoren er lig med exp(− βE ).

Hvis vi tager konturintegralet over en hvilken som helst lukket kontur γ, kan vi forvente, at den er nul, hvis kurven γ er kontraherbar, som det forventes fra en flad kurve. Men der er en ejendommelighed her. Antag, at XY-teorien har en UV-grænse, som kræver en vis begrænsning af UV. Så er der punkteringer i planet, så hvis γ er en lukket bane, der kun går rundt om punkteringen én gang, så kan værdien kun være et heltal ganget med 2π. Disse punkteringer kaldes hvirvler, og hvis γ er en lukket kontur, der kun går én gang mod uret rundt om punkteringen, og dens rækkefølge af enhver anden punktering i forhold til denne kurve er lig med nul, så kan heltalsmultipliciteter tildeles hvirvelen. Antag, at feltkonfigurationen har N punkteringer i punkterne x i , i = 1, …, n med multipliciteter n i . Derefter nedbrydes φ til summen af feltkonfigurationen uden punkteringer φ 0 og , hvor vi for nemheds skyld er gået over til komplekse koordinater på planet. Det sidste led har forgreninger, men da φ kun er defineret modulo 2π, er de ikke fysiske. $\oint _{\gamma }d\phi$ $\oint _{\gamma }d\phi$ $\sum _{i=1}^{n}n_{i}\arg(z-z_{i})$

Yderligere,

E=\int {\frac {1}{2}}\nabla \phi _{0}\cdot \nabla \phi _{0}d^{2}x+\int {\frac {1}{ 2}}\nabla \sum _{i=1}^{n}n_{i}\arg(z-z_{i})\cdot \nabla \sum _{j=1}^{n}n_{j }\arg(z-z_{j})d^{2}x.

Hvis , så er det andet led positivt og uendeligt, så konfigurationer med et ubalanceret antal hvirvler observeres aldrig. $\sum _{i=1}^{n}n_{i}\neq 0$

Hvis , så er det andet led lig med . $\sum _{i=1}^{n}n_{i}=0$ $\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}-2\pi n_{i}n_{j}\ln(|x_{j}-x_{i}|/L)$

Dette er den nøjagtige formel for Coulomb-gassens energi; skalaen L bidrager ikke med andet end et konstant bidrag.

Overvej tilfældet med kun én hvirvel af multiplicitet 1 og en hvirvel af multiplicitet −1. Ved lave temperaturer, det vil sige ved stort β, har vortex-antivortex-parret en tendens til at være ekstremt tæt på hinanden. At adskille dem ville kræve energi i størrelsesordenen UV-afskæringsenergien. Med et større antal vortex-antivortex-par opnår vi et sæt vortex-antivortex-dipoler. Ved høje temperaturer, det vil sige lille β, har vi et plasma bestående af hvirvler og antivirvler. Faseovergangen mellem disse tilstande kaldes BKT-overgangen.

Se også

Masseløs boson
Ising model
lambda overgang
Potts model
kvantehvirvel
Superflydende film
Topologisk defekt

Noter

↑ Resnick; et al. (1981).
↑ Z. Hadzibabic et al.: "Berezinskii-Kosterlitz-Thouless crossover in a fanget atomic gas", Nature 441 , 1118 (2006)
↑ DJ Resnick, JC Garland, JT Boyd, S. Shoemaker og RS Newrock. Kosterlitz-Thouless Transition in Proximity-Coupled Superconducting Arrays // Phys. Rev. Lett.. - Vol. 47. - doi : 10.1103/PhysRevLett.47.1542 . - .

Litteratur

Berezinsky, V. L. (1970), "Ødelæggelse af langtrækkende orden i endimensionelle og todimensionelle systemer med kontinuert symmetrigruppe I. Klassiske systemer", ZhETF (på russisk) 59 (3): 907-920 . Oversættelse tilgængelig: Berezinskii, VL (1971), "Ødelæggelse af langtrækkende orden i endimensionelle og todimensionelle systemer med en kontinuerlig symmetrigruppe I. Klassiske systemer" (pdf), Sov. Phys. JETP 32 (3): 493-500, Bibcode : 1971JETP…32..493B
Berezinsky, V. L. (1971), 'Ødelæggelse af langrækkende orden i en- og todimensionelle systemer med kontinuerlig symmetrigruppe II. Quantum systems”, ZhETF (på russisk) 61 (3): 1144-1156 . Oversættelse tilgængelig: Berezinskii, VL (1972), "Ødelæggelse af langtrækkende orden i endimensionelle og todimensionelle systemer med en kontinuerlig symmetrigruppe II. Kvantesystemer" (pdf), Sov. Phys. JETP 34 (3): 610-616, Bibcode : 1972JETP…34..610B
Kosterlitz, JM; Thouless, DJ (1973), "Ording, metastability and phase transitions in two-dimensional systems", Journal of Physics C: Solid State Physics 6 : 1181–1203, Bibcode : 1973JPhC….6.1181K , doi : 10.1088-3702 /6/7/010
McBryan, O.; Spencer, T. (1977), Commun. Matematik. Phys. 53 :299, Bibcode : 1977CMaPh..53..299M , doi : 10.1007/BF01609854
B.I. Halperin, D.R. Nelson, Phys. Rev. Lett. 41, 121 (1978)
A. P. Young, Phys. Rev. B 19, 1855 (1979)
Resnick, DJ; Garland, JC; Boyd, JT; Skomager, S.; Newrock, RS (1981), "Kosterlitz Thouless Transition in Proximity Coupled Superconducting Arrays", Phys. Rev. Lett. 47 :1542, Bibcode : 1981PhRvL..47.1542R , doi : 10.1103/PhysRevLett.47.1542
Frohlich, Jürg; Spencer, Thomas (1981), "The Kosterlitz-Thouless transition in two-dimensional abelian spin systems and the Coulomb gas", Comm. Matematik. Phys. 81 (4): 527-602, Bibcode : 1981CMaPh..81..527F , doi : 10.1007/bf01208273
Z. Hadzibabic; et al. (2006), "Berezinskii-Kosterlitz-Thouless crossover in a fanget atomic gas", Nature 41 : 1118, arXiv : cond-mat/0605291 , Bibcode : 2006Natur.441.1118H , doi : 8e100/10.

Bøger

JV Jose, 40 Years of Berezinskii-Kosterlitz-Thouless Theory , World Scientific , 2013, ISBN 978-981-4417-65-5
H. Kleinert , Gauge Fields in Condensed Matter , Vol. I, "SUPERFLOW OG VORTEX LINES", s. 1-742, World Scientific (Singapore, 1989) ; Paperback ISBN 9971-5-0210-0 (også tilgængelig online: Vol . I. Læs s. 618-688);
H. Kleinert , Multivalued Fields in Condensed Matter, Electrodynamics, and Gravitation , World Scientific (Singapore, 2008) (også tilgængelig online: her )