Drenge-pige-paradokset er også kendt i sandsynlighedsteorien som drenge-pige-paradokset, Mr. Smiths børn og Mrs. Smiths problemer. Problemet blev først formuleret i 1959, da Martin Gardner udgav en af de tidligste versioner af dette paradoks i Scientific American kaldet "The Two Children Problem", hvor han gav følgende formulering:
Gardner selv gav i første omgang svaret henholdsvis 1/2 og 1/3, men indså senere, at situationen i det andet tilfælde er tvetydig. [1] Svaret på det andet spørgsmål kan være 1/2, afhængigt af hvordan det blev fundet ud af, at et af børnene er en dreng. Tvetydighed afhængig af problemets specifikke tilstand og antagelserne blev bekræftet senere i 1982 (Maya Bar-Hillel og Ruma Falk "Some teasers concerning conditional probabilities" [2] ) og i maj 2004 (Raymond S. Nickerson "Cognition and Chance" : The Psychology of Probabilistic Reasoning" [3] ). Andre varianter af dette paradoks, med varierende grader af usikkerhed, har for nylig[ hvad? ] tiden vundet popularitet. For eksempel i Ask Marilyn i Parade Magazine , [4] John Tierney i The New York Times , [5] og Leonard Mlodinow i Drunkard's Walk. [6] Den psykologiske opfattelse af dette paradoks er også interessant. En videnskabelig undersøgelse fra 2004 (Craig R. Fox & Jonathan Levav (2004) [7] . "Partition-Edit-Count: Naive Extensional Reasoning in Judgment of Conditional Probability) fandt, at givet identiske inputoplysninger, men forskellige med variationer i formuleringen af problem, der tilskynder til valget af et bestemt synspunkt, varierer andelen af MBA- studerende , der gav 1/2 svar på det andet spørgsmål, fra 85 % til 39 %. Paradokset forårsager ofte en masse kontroverser.3 Mange mennesker er ivrige . tilhængere af hver af mulighederne svar, mens de benægter og nogle gange foragter det modsatte synspunkt. Paradokset er, at med forskellige tilgange til analyse er den ønskede sandsynlighed forskellig. [6] [7] Det mest åbenlyse svar på begge spørgsmål er 1/2. [7] Dette er svaret dog kun indlysende, når det følger af hvert af spørgsmålene, at der er to lige sandsynlige udfald for det andet barns køn (dreng eller pige) [7] [8] og at sandsynligheden for disse udfald er ubetingede [9]
Vi vælger en tilfældig familie, der opfylder betingelserne i det første spørgsmål. Så er der 4 lige sandsynlige udfald.
| ældre barn | Yngste barn |
|---|---|
| Pige | Pige |
| Pige | Dreng |
| Dreng | Dreng |
| Dreng | Pige |
Og kun 2 af de mulige udfald opfylder kriteriet angivet i spørgsmålet (disse er muligheder for DD, DM). På grund af det faktum, at begge udfald fra det nye sæt af elementære udfald {DD, DM} er lige sandsynlige, og kun et af udfaldene indeholder to piger - DD - er sandsynligheden for, at begge børn er piger, 1/2.
Det andet spørgsmål ligner det første, men i stedet for at sige, at det ældste barn er en dreng, siger spørgsmålet, at mindst et af børnene er en dreng. Som svar på kritik fra læsere er Gardner enig i, at på grund af "umuligheden af at beskrive randomiseringsproceduren i detaljer", har hans oprindelige formulering 2 måder at fortolke familieudvælgelsesmetoden på:
Det er klart, at hver Mr. Smith har en søn (dette er en nødvendig betingelse), men det er ikke klart, om hver Mr. Smith med en søn vil komme under vores overvejelse. Deri ligger problemet: Udsagnet siger ikke, at det at have en søn er en tilstrækkelig betingelse for at inkludere hr. Smith i "prøven". Samtidig bemærker Bar-Hillel & Falk [2] , der kommenterer Gardners arbejde, at "Fru Smith, i modsætning til læseren, naturligvis ved, hvilket køn hendes børn har, når hun påstår noget. Og med udgangspunkt i svaret: " Jeg har to børn, og mindst én af dem er en dreng" - det rigtige svar vil efter deres mening være 1/3, som Gardner oprindeligt foreslog.
Hvis vi antager, at familien er valgt ud fra princippet om, at den har mindst én barn-dreng, og tilstedeværelsen af en dreng accepteres som en nødvendig og tilstrækkelig betingelse , så er der tre ud af fire lige sandsynlige udfald for en familie med to børn blandt det sæt af elementære udfald beskrevet ovenfor.
| ældre barn | Yngste barn |
|---|---|
| Pige | Pige |
| Pige | Dreng |
| Dreng | Pige |
| Dreng | Dreng |
Forudsat at begge børn tages i betragtning i søgen efter en dreng, er svaret på det andet spørgsmål 1/3. Men hvis en familie blev valgt først, og derefter kønnet på et af børnene blev kontrolleret, ville den korrekte måde at beregne ikke længere være at tælle de passende muligheder, men at beregne den betingede sandsynlighed for hvert enkelt tilfælde.
| ældre barn | Yngste barn | P (dette tilfælde) | P("testet viste sig at være en dreng") | P(dette tilfælde, og "testede viste sig at være en dreng") |
|---|---|---|---|---|
| Pige | Pige | 1/4 | 0 | 0 |
| Pige | Dreng | 1/4 | 1/2 | 1/8 |
| Dreng | Pige | 1/4 | 1/2 | 1/8 |
| Dreng | Dreng | 1/4 | en | 1/4 |
Svaret fås ved at beregne den betingede sandsynlighed (1/4)/(0+1/8+1/8+1/4)=1/2. Bemærk, at i tilfælde af at vælge et specifikt barn, vil alt ske lidt anderledes, og et lignende svar vil blive opnået ved hjælp af andre beregninger. Hvis vi for eksempel først finder ud af det yngste barns køn, så
| Ældste barn (kendt køn) | Yngste barn | P (dette tilfælde) | P("andet barn er en dreng") | P(dette tilfælde, og "det andet barn er en dreng") |
|---|---|---|---|---|
| Pige | Pige | 1/4 | 0 | 0 |
| Pige | Dreng | 1/4 | en | 1/4 |
| Dreng | Pige | 1/4 | 0 | 0 |
| Dreng | Dreng | 1/4 | en | 1/4 |
(1/4)/(0+1/4+0+1/4)=1/2.
Siden Gardners paradoks vandt popularitet, er det blevet diskuteret bredt, og forskellige former for det andet spørgsmål er blevet udtænkt. Den første version blev foreslået af Bar-Hillel og Falk [2] og den lød således:
Smith er far til to børn. Vi mødte ham gå ned ad gaden med en lille dreng, som han stolt præsenterede for os som sin søn. Hvad er sandsynligheden for, at Mr. Smiths andet barn også er en dreng?Bar-Hillel og Falk brugte denne variation til at understrege vigtigheden af at være opmærksom på underliggende antagelser. I dette tilfælde er det åbenlyse svar ½ korrekt. Men nogen kan være uenige og sige, at før hr. Smith introducerede drengen for os, ved vi, at han er far til enten to DD-piger eller to MM-drenge, eller en dreng og en pige, hvor den ældste enten er læge. dreng eller pige DM. I betragtning af begivenhedernes ligesandsynlighed starter vi igen med en sandsynlighed på 1/4 for, at Smith har to drenge. Når vi finder ud af, at han har mindst én dreng, afviser vi automatisk muligheden for to piger. Og ud fra det faktum, at de resterende tre udfald er lige sandsynlige, konkluderer vi, at sandsynligheden for MM er 1/3.
Bar-Hillel og Falk [2] siger, at der er en naturlig antagelse om, at Mr. Smith tilfældigt valgte et barn at gå ud med, men i dette tilfælde er kombinationerne af MM, MD og MM ikke længere lige sandsynlige. I dette tilfælde, i MM-situationen, er valget af en dreng som ledsager garanteret, og i de resterende to tilfælde afviger sandsynligheden fra 1. Hvis vi udfører beregninger under hensyntagen til denne faktor, viser det sig, at sandsynligheden at det andet barn er en dreng er 1/2.
Men Bar-Hillel og Falk foreslog et alternativt scenario. De foreslog, at der var en kultur, hvor en dreng blev valgt til at gå alligevel. Under denne antagelse er børneparrene MM, MD og DM lige sandsynlige, selvom vi ved, at en dreng gik en tur, hvorfra vi kan få, at sandsynligheden for, at det andet barn også er en dreng, er 1/3 . [2]
I 1991 svarede Marilyn vos Savant i sin "Spørg Marilyn"-spalte i Parade magazine en læser, der bad hende om at løse en variant af hvalpeparadokset. Og i 1996 dukkede en anden variation af det andet spørgsmål op:
Vos Savant gav selv et klassisk svar på dette spørgsmål. Men samtidig lavede hun en undersøgelse, hvor læsere med 2 børn, heraf mindst en søn, svarede på spørgsmålet om, hvilket køn deres børn havde. 35,9 % af næsten 18.000 personer svarede, at de havde 2 drenge. [10] Denne note af Vos Savant [4] blev gennemgået i detaljer af Carleton og Stansfield [10] i en artikel fra 2005 i The American Statistician. Forfatterne diskuterer ikke den mulige tvetydighed i dette spørgsmål og konkluderer, at hendes svar er matematisk korrekt, givet den forudsætning, at sandsynligheden for at få en dreng og en pige er lige store, og at det andet barns køn ikke afhænger af køn af den første. Med hensyn til hendes forskning siger de, at "i alle tilfælde bekræfter vi, at Vos Savants påstand om, at sandsynligheden i det oprindelige spørgsmål ikke er ens, er sand, og at sandsynligheden for to drenge er tættere på 1/3 end på 1/2 ".
Carlton og Stansfield går derefter videre for at diskutere paradokset med en dreng og en pige i livet. De viser, at drenge i den virkelige verden er noget mere almindelige end piger, og at uafhængigheden af det andet barns køn fra det førstes køn ikke er så indlysende. Forfatterne konkluderer, at selvom præmissen for spørgsmålet modsiger reelle observationer, har paradokset stor pædagogisk værdi, fordi det "illustrerer en af de mest spændende anvendelser af betinget sandsynlighed." Faktisk er de faktiske sandsynlighedsværdier ikke vigtige; når alt kommer til alt, er formålet med paradokset at demonstrere tilsyneladende modstridende logikker , og ikke den faktiske fødselsrate.
Fra et statistisk analysesynspunkt er ovenstående spørgsmål ofte tvetydige og har som sådan ikke et "korrekt" svar. Paradokset med det andet barn slutter dog ikke her, og de muligheder, det åbner for at udforske en persons intuitive sandsynlighedsopfattelse, er også nyttige. Undersøgelser som dem udført af Vos Savant fastslår, at hvis folk var konsekvente, ville de være mere tilbøjelige til at komme med et 1/3 svar, men et 1/2 svar er mere almindeligt. Tvetydigheden i dette andet spørgsmål er, mens det skaber paradokser i klassisk matematik, grundlaget for at studere folks intuitive opfattelse af sandsynlighed. Fox & Levav i 2004 [7] brugte dette paradoks til at studere, hvordan folk vurderer betinget sandsynlighed. I denne undersøgelse blev paradokset præsenteret for folk på to måder:
Forfatterne hævder, at den første formulering giver læseren det fejlagtige indtryk, at der er to lige sandsynlige muligheder for det "andet barn" [7] , mens den anden formulering giver læseren det indtryk, at der er fire mulige udfald, hvoraf det ene var ekskluderet (som følge heraf er sandsynligheden for to drenge 1/3, da der er tre mulige resterende elementære udfald, hvoraf kun den ene har begge børn drenge).
Ifølge resultaterne af dette eksperiment viste det sig, at disse to formuleringer forvirrer folk. Så i det første tilfælde blev svaret 1/2 givet af 85 % af de adspurgte, mens det i det andet tilfælde kun var 39 %. Forfatterne foreslår, at grunden til, at folk besvarer disse 2 spørgsmål forskelligt, er, at folk træffer beslutninger ved hjælp af heuristik , der involverer brugen af uformelle metoder, i modsætning til beslutningsmetoder baseret på klare matematiske modeller .