Den kinetiske energis paradoks

Paradokset med kinetisk energi er et tankeeksperiment inden for rammerne af klassisk mekanik , der angiveligt indikerer en krænkelse af Galileos relativitetsprincip . Når et legemes hastighed ændres, er stigningen af dets kinetiske energi i en referenceramme ikke lig med stigningen i en anden referenceramme. Dette indebærer angiveligt eksistensen af referencesystemer, hvor loven om bevarelse af energi er overtrådt, og som følge heraf er Galileos relativitetsprincip angiveligt krænket.

Intern motor

Overvej en legetøjsbil med en hovedfjeder, der kan lagre potentiel energi . Vi vil negligere energitabet på grund af friktion . Lad denne energireserve være i stand til at accelerere legetøjet til hastighed . Lad os gå videre til en anden inertiereferenceramme , som bevæger sig i forhold til Jorden mod bilen med en hastighed på . Fra dette referencesystems synspunkt er legetøjets hastighed før acceleration lig, og den kinetiske energi er lig med . Legetøjets hastighed efter acceleration er lig med den kinetiske energi . Dermed er bilens kinetiske energi steget med , hvilket overstiger energireserven i foråret [1] . $W$ $v$ $v$ $v$ $W$ $2v$ $4W$ $3W$ $W$

Forklaring af paradokset

Paradokset forklares ved, at ovenstående ræsonnement ikke tager højde for ændringen i jordens momentum og kinetiske energi under legetøjets acceleration. Hvis vi tager højde for ændringen i jordens momentum og kinetiske energi, så er paradokset forklaret. Lad os foreløbig negligere Jordens rotationsbevægelse .

Lad os gå til en referenceramme, hvor Jorden og legetøjet til at begynde med er ubevægelige. Efter accelerationen af legetøjet, i overensstemmelse med loven om bevarelse af momentum, kan du skrive ligningen , hvor er legetøjets masse, er legetøjets hastighed, er jordens masse , er hastigheden af legetøjet Jorden. I overensstemmelse med loven om energibevarelse kan ligningen skrives . Udtrykker vi Jordens hastighed fra ligningen og substituerer ind i ligningen , får vi [1] . $mv+MV=0$ $m$ $v$ $M$ $V$ $W={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {MV^{2}}{2}}$ $V$ $mv+MV=0$ $W={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {MV^{2}}{2}}$ $W={\frac {mv^{2}}{2}}\left(1+{\frac {m}{M}}\right)$

Lad os gå videre til referencerammen, hvor Jorden og legetøjet til at begynde med bevæger sig med en hastighed på . Efter legetøjets acceleration, i overensstemmelse med loven om bevarelse af momentum, kan du skrive ligningen , hvor er jordens hastighed efter legetøjets acceleration. I overensstemmelse med loven om bevarelse af energi kan der skrives en ligning for at ændre den kinetiske energi . Vi udtrykker Jordens hastighed ud fra ligningen og erstatter den med den foregående ligning. Vi får . Efter simple transformationer får vi . Det vil sige, at i dette tilfælde er ændringen i hele systemets kinetiske energi lig med fjederens potentielle energi [2] . $v$ $m(2v)+MV_{1}=(m+M)v$ $V_{1}$ $\delta E={\frac {m(2v)^{2}}{2}}+{\frac {MV_{1}^{2}}{2}}-{\frac {(m+ M )v^{2}}{2}}$ $V_{1}$ $m(2v)+MV_{1}=(m+M)v$ $\delta E=3{\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {M}{2}}\left[(1-{\frac {m}{M}}) ^{2}v^{2}-v^{2}\right]$ $\delta E={\frac {mv^{2}}{2}}\left(1+{\frac {m}{M}}\right)=W$ $W$

Ændringen i legetøjets kinetiske energi i den nye referenceramme er tre gange større end i referencerammen forbundet med Jorden på grund af det faktum, at den ikke kun opstår på grund af fjederens potentielle energi, men også pga. til, at hjulene på legetøjet i den nye referenceramme bremser Jorden [2] .

Lad os nu tage højde for jordens rotation forårsaget af legetøjet. Den kinetiske energi af Jordens rotation vil også vises på højre side af formlen . Den vil være af samme størrelsesorden som den kinetiske energi af Jordens translationelle bevægelse , derfor kan den i en referenceramme, hvor Jorden var ubevægelig, ligesom energien fra Jordens translationelle bevægelse negligeres, og det kan antages, at alle fjederens potentielle energi omdannes til legetøjets kinetiske energi. I referencerammen, hvor legetøjets og jordens hastigheder er ens i begyndelsen , vil den kinetiske energi af jordens rotation være den samme som i den første referenceramme, da ændringen i jordens vinkelhastighed er den samme i alle inertielle referencerammer. Derfor kan rotationsenergien negligeres i den anden referenceramme [3] . $W={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {MV^{2}}{2}}$ $v$

Ekstern kraft

Overvej et legeme med masse, der bevæger sig med hastighed . Lad en konstant kraft virke på denne krop i nogen tid , rettet langs den samme rette linje som hastigheden . Det ændrer kroppens hastighed fra en værdi til en værdi på . Som et resultat af denne krafts virkning vil ændringen i kroppens kinetiske energi være lig med . $m$ $v_{1}$ $t$ $F$ $v_{1}$ $v_{1}$ $v_{2}$ ${\frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})$

Lad os nu gå til en anden referenceramme og bevæge os ensartet og retlinet i forhold til den forrige referenceramme med en hastighed rettet langs den samme rette linje som hastigheden . I denne referenceramme vil ændringen i kinetisk energi være lig , dvs. den vil være mindre end i den første referenceramme, hvilket ikke stemmer overens med Galileos relativitetsprincip [4] . $v$ $v_{1}$ ${\frac {m}{2}}((v_{2}-v)^{2}-(v_{1}-v)^{2})={\frac {m}{2} }(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})-mv(v_{2}-v_{1})$

Forklaring af paradokset

Relativitetsprincippet kræver, at de samme fysiske love overholdes i de to betragtede referencerammer. Således skal loven om bevarelse af energi være opfyldt , ifølge hvilken ændringen i kroppens energi skal være lig med ydre kræfters arbejde. Derfor skal forholdet i det første system være sandt . Her er længden af den vej, som kroppen tilbagelagde i det første system i det tidsrum, hvor hastigheden steg fra til . Da kroppen bevæger sig med acceleration , så . ${\frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})=Fs$ $s$ $v_{1}$ $v_{2}$ ${\frac {F}{m))$ $s=v_{1}t+{\frac {F}{m}}{\frac {t^{2}}{2}}$

i det andet system . Her er længden af den vej, kroppen tilbagelægger i det andet system . Så, . Siden da . Således . ${\frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})-mv(v_{2}-v_{1})=Fs_{1}$ $s_{1}$ $s_{1}=(v_{1}-v)t+{\frac {F}{m}}{\frac {t^{2}}{2}}$ $s-s_{1}=vt$ ${\frac {F}{m}}=a={\frac {(v_{2}-v_{1})}{t}}$ $t={\frac {m(v_{2}-v_{1})}{F)),s-s_{1}={\frac {mv(v_{2}-v_{1}) }{F}}$ $F(s-s_{1})=mv(v_{2}-v_{1})$

Arbejdet af en ekstern kraft i den første referenceramme er lige så meget større end i den anden, som ændringen i kinetisk energi i den første ramme er større end i den anden. Da energiændringen i det første system er lig med ydre kræfters arbejde, gælder dette også for det andet system. Følgelig er Galileos relativitetsprincip ikke overtrådt [4] .

Se også

Noter

↑ 1 2 Butikov, 1989 , s. 73.
↑ 1 2 Butikov, 1989 , s. 74.
↑ Butikov, 1989 , s. 75.
↑ 1 2 Shaskolskaya M. P. , Eltsin I. A. Samling af udvalgte problemer i fysik. - M., Nauka, 1986. - s. 24, 111

Litteratur

E.I. Butikov , A.A. Bykov , A.S. Kondratiev . Fysik i eksempler og problemer. - M. : Nauka, 1989. - 464 s. — ISBN 5-02-014057-0 .
At kaste en bold fra en bil i bevægelse // Mark Levi. Hvorfor katte lander på deres fødder. Princeton University Press, 2012. s. 74-76.