Bertrands paradoks (sandsynlighed)

Bertrands paradoks er et problem i den klassiske definition af sandsynlighedsteori . Joseph Bertrand beskrev paradokset i sin Calcul des probabilités (1888) som et eksempel på, hvordan sandsynlighed ikke kan defineres klart, før mekanismen eller metoden til at vælge en stokastisk variabel er bestemt [1] .

Bertrands formulering

Bertrands paradoks er som følger: Overvej en ligesidet trekant indskrevet i en cirkel . En akkord i cirklen er valgt tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for, at den valgte akkord er længere end siden af ​​trekanten?

Bertrand foreslog tre løsninger, tilsyneladende korrekte, men med forskellige resultater.

  1. Metoden til "tilfældige ender": vi vælger tilfældigt to punkter på cirklen og trækker en akkord gennem dem. For at beregne den ønskede sandsynlighed skal du forestille dig, at trekanten drejes, så en af ​​dens spidser falder sammen med enden af ​​akkorden. Bemærk, at hvis den anden ende af akkorden ligger på buen mellem to andre hjørner af trekanten, så er akkordens længde større end siden af ​​trekanten. Længden af ​​den betragtede bue er lig med en tredjedel af omkredsen, efter den klassiske definition er den krævede sandsynlighed lig med .
  2. Metoden "tilfældig radius": fix radius af cirklen, vælg tilfældigt et punkt på radius. Lad os konstruere en akkord, vinkelret på den faste radius, der går gennem det valgte punkt. For at finde den ønskede sandsynlighed skal du forestille dig, at trekanten drejes, så en af ​​dens sider er vinkelret på en fast radius. En korde er længere end en side af en trekant, hvis dens centrum er tættere på midten end trekantens skæringspunkt med en fast radius. Siden af ​​trekanten halverer radius, så sandsynligheden for at vælge en akkord er længere end siden af ​​trekanten .
  3. Metode til "tilfældigt centrum": vi vil tilfældigt vælge et vilkårligt punkt inde i cirklen og konstruere en korde centreret i det valgte punkt. En akkord er længere end en side af en ligesidet trekant, hvis det valgte punkt er inde i en cirkel indskrevet i trekanten. Arealet af den indskrevne cirkel er 1/4 af arealet af den større, så den oprindelige sandsynlighed er .

Valget af metode kan også afbildes som følger. En akkord er unikt defineret af dens midtpunkt. Alle tre metoder beskrevet ovenfor giver en forskellig, hver med sin egen, fordeling af midten. Metode 1 og 2 repræsenterer to forskellige uensartede fordelinger, mens den tredje metode giver en ensartet fordeling. Ser man derimod på billederne af akkorder nedenfor, er det bemærkelsesværdigt, at akkorderne i metode 2 giver en ensartet udfyldt cirkel, og 1. og 3. metoden ikke giver sådan et billede.


Andre distributioner kan udtænkes; mange af dem vil give forskellige proportioner af akkorder, der er længere end siden af ​​den indskrevne trekant.

Den klassiske løsning

Den klassiske løsning af problemet afhænger således af den metode, hvormed akkorden er tilfældigt valgt. Hvis og kun hvis den tilfældige udvælgelsesmetode er givet, har problemet en veldefineret løsning. Udvælgelsesmetoden er ikke unik, så der kan ikke være en enkelt løsning. De tre løsninger, Bertrand præsenterer, svarer til forskellige udvælgelsesmetoder, og i mangel af yderligere information er der ingen grund til at foretrække nogen.

Dette og andre paradokser i den klassiske definition af sandsynlighed retfærdiggør mere stringente formuleringer, der involverer frekvenssandsynligheder og subjektive Bayesianske sandsynligheder .

Janes' løsning ved hjælp af usikkerhedsprincippet

Edwin Jaynes foreslog i sit værk "The Well-posed Problem" [2] fra 1973 en løsning på Bertrands paradoks baseret på usikkerhedsprincippet : vi bør ikke bruge information, der ikke er givet i betingelsen. Jaynes påpegede, at Bertrands problem ikke specificerer positionen eller størrelsen af ​​cirklen, og argumenterede for, at i et sådant tilfælde skal enhver eksakt og objektiv løsning være "ligeglad" med størrelsen og positionen. Med andre ord skal løsningen være invariant i forhold til dimensioner og transformationer.

For at illustrere: antag, at akkorderne ligger tilfældigt i en cirkel med en diameter på 2 (f.eks. efter at sugerør er blevet kastet ind i cirklen på afstand). Derefter lægges en anden cirkel med en mindre diameter (for eksempel 1,1) oven på den store. Nu skal fordelingen af ​​akkorder i den mindre cirkel være den samme som i den større. Hvis du flytter den mindre cirkel over den større, bør sandsynligheden ikke ændre sig. Dette skal tydeligt udtrykkes i tilfælde af ændringer i metode 3: fordelingen af ​​akkorder i den lille cirkel kan se kvalitativt anderledes ud end deres fordeling i den store cirkel.

Situationen er den samme med metode 1, selvom den er mere kompleks i den grafiske fremstilling. Kun metode 2 er både dimensionelt og transformationsinvariant, metode 3 har kun dimensionel invarians, metode 1 har ingen.

Men Jaynes brugte ikke kun invarians til at acceptere eller afvise disse metoder: dette ville betyde det samme som at efterlade muligheden for eksistensen af ​​en endnu ubeskrevet metode, der opfylder kriterierne for sund fornuft . Jaynes brugte integralligninger , der beskriver invarians, til nøjagtigt at bestemme sandsynligheden for en fordeling. Til dette problem har de integrerede ligheder faktisk en unik løsning, det der kaldes metode 2 ovenfor, den tilfældige radius metode.

Fysiske eksperimenter

Metode 2 er den eneste løsning, der har transformationsinvarians, som er til stede i visse fysiske systemer (såsom statistisk mekanik og gasfysik ), såvel som i Janes' foreslåede forsøg med tilfældigt at kaste sugerør på afstand ind i en cirkel. Man kan dog udføre andre forsøg, der giver resultater for andre metoder. For at komme frem til en løsning i metode 1, den tilfældige afslutningsmetode, kunne man for eksempel vedhæfte en roterende pointer til midten af ​​cirklen og lade resultaterne af to uafhængige rotationer markere start- og slutpunkterne for akkorderne. For at komme frem til løsningen i metode 3, skal man dække cirklen med melasse og markere det første punkt, hvor fluen ved et uheld lander som midtpunkt af korden. Flere observatører designede eksperimenter for at opnå forskellige løsninger og verificere resultaterne empirisk. [3] [4] [5]

Noter

  1. ↑ Sekey G. Paradokser i sandsynlighedsteori og matematisk statistik. - M . : Mir, 1990. - S. 50-54. - 240 sek.
  2. ↑ Jaynes, E.T. (1973), The Well-Posed Problem , Foundations of Physics bind 3: 477–493, doi : 10.1007/BF00709116 , < http://bayes.wustl.edu/etj/articles/well.pdf > Arkiveret 12. august 2011 på Wayback Machine   
  3. ↑ Gardner, Martin (1987), The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions , The University of Chicago Press, s. 223-226, ISBN 978-0226282534  
  4. ↑ Tissler, P.E. (marts 1984), Bertrand's Paradox , The Mathematical Gazette (The Mathematical Association) . — T. 68 (443): 15–19 , DOI 10.2307/3615385 (engelsk)  
  5. ↑ Kac, Mark (maj–juni 1984), Marginalia: mere om tilfældighed, American Scientist bind 72 (3): 282–283