Ortotrekant

En ortotrekant ( ortocentrisk trekant) er en trekant Δ abc , hvis toppunkter er basis for højden af trekanten ∆ ABC . For en ortotrekant (for en ortocentrisk trekant) Δ abc , er trekanten selv ∆ ABC en trekant med tre ydre halveringslinjer . Det vil sige, at segmenterne AB , BC og CA er de tre ydre halveringslinjer i trekanten Δ abc .

Egenskaber

Fagnano problem : Den ortocentriske trekant i en spids trekant ABC har den mindste omkreds af alle indskrevne trekanter.
Højderne af en spidsvinklet trekant er halveringslinjen af vinklerne i dens ortotrekant (derfor er orthocentret af en spidsvinklet trekant midten af cirklen indskrevet i dens ortotrekant).
Hvis punkterne A 1 , B 1 og C 1 på henholdsvis siderne BC , AC og AB i en spids trekant ABC er sådan, at

\angle BA_{1}C_{1}=\angle CA_{1}B_{1}

, og ,

\angle CB_{1}A_{1}=\angle AB_{1}C_{1}

\angle AC_{1}B_{1}=\angle BC_{1}A_{1}

så er orthotrekanten af trekant ABC . $A_{1}B_{1}C_{1}$

Hvis en cirkel er afgrænset omkring en given spidsvinklet trekant, og linjer, der tangerer cirklen, tegnes ved tre spidser af trekanten, så danner skæringspunktet mellem disse linjer en trekant, som kaldes en tangentiel trekant i forhold til den givne trekant.

Lighedsegenskaber for relaterede trekanter

Den oprindelige trekant i forhold til ortotrekanten er en trekant med tre ydre halveringslinjer [1] . $\Delta ABC$

En ortotrekant og en tangentiel trekant ligner hinanden (Zetel, følge 1, § 66, s. 81).
Gergonne-trekanten i en ortotrekant og den oprindelige trekant ligner hinanden (se figur).
Trekanten med tre ydre halveringslinjer i trekanten med tre ydre halveringslinjer og den oprindelige trekant ligner hinanden.
Ortotrekanten i Gergonne-trekanten og den oprindelige trekant ligner hinanden.
Ovenstående egenskaber for lighed af beslægtede trekanter er en konsekvens af egenskaberne ved parallelisme (anti-parallelisme) af siderne af beslægtede trekanter , der er anført nedenfor .

Egenskaber for parallelisme (anti-parallelisme) af siderne af beslægtede trekanter

Siderne i en given spidsvinklet trekant er antiparallelle med de tilsvarende sider af den ortotrekant , de ligger imod.
Siderne i en tangentiel trekant er antiparallelle med de tilsvarende modsatte sider af den givne trekant (ved egenskaben antiparallelisme af tangenter til en cirkel).
Siderne i en tangentiel trekant er parallelle med de tilsvarende sider af en ortotrekant .
Hvis tangentpunkterne i en cirkel indskrevet i en given trekant er forbundet med segmenter, så får vi Gergonne-trekanten . Lad højder tegnes i den resulterende trekant. Så er linjerne, der forbinder grundene for disse højder, parallelle med siderne af den oprindelige trekant. Derfor er ortotrekanten i Gergonne-trekanten og den oprindelige trekant ens.

Andre egenskaber

Arealet af en ortotrekant er:

S_{ort}={\frac {S}{(2abc)^{2}}}(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}+ c^{2}-b^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})

hvor er arealet af trekanten Δ ABC ; - dens respektive sider. $S$ $a,b,c$

Cirklen afgrænset om orthotrekanten Δ abc , for trekanten Δ ABC selv er Euler - cirklen (en cirkel på 9 punkter), det vil sige, at den samtidig passerer gennem 3 baser af sidstnævntes medianer. Bemærk, at disse 3 baser af medianerne er hjørnerne af den komplementære trekant for trekanten Δ ABC .
Radierne af en cirkel, der er afgrænset om en given trekant Δ ABC , tegnet gennem dens toppunkter, er vinkelrette på de tilsvarende sider af ortotrekanten Δ abc (Zetel, Corollary 2, § 66, s. 81).

Litteratur

Ponarin Ya. P. Elementær geometri. I 2 bind - M . : MTSNMO , 2004. - S. 38-39. — ISBN 5-94057-170-0 .
Zetel S.I. Ny trekantgeometri. En guide til lærere. 2. udgave. M.: Uchpedgiz, 1962. 153 s.

Noter

↑ Starikov V. N. Geometriforskning // Samling af publikationer fra det videnskabelige tidsskrift Globus baseret på materialerne fra den V. internationale videnskabelig-praktiske konference "Achievements and problems of modern science", St. Petersburg: en samling af artikler (standardniveau, akademisk niveau). S-P.: Videnskabeligt tidsskrift Globus , 2016. S. 99-100