Operade

Operaen giver en generel tilgang til at beskrive sådanne egenskaber som kommutativitet eller antikommutativitet , såvel som forskellige variationer af associativitet . Forholdet mellem algebra og operader ligner forholdet mellem repræsentationer af grupper og grupper .

Definition

Operad ( en klon af multilineære operationer ) er en familie af sæt med venstre handling af symmetriske grupper på de tilsvarende og med kompositionsoperationer : ${\displaystyle \{R_{n},\;n\geqslant 1\))$ $S_{n}$ $R_n$

R_{n_{1}}\times \ldots \times R_{n_{m}}\times R_{m}\to R_{n_{1}+\ldots +n_{m}}:(r_{ 1},\;\ldots ,\;r_{m},\;r)\til r_{1}\ldots r_{m}r,

opfylder de generaliserede associativitetsidentiteter :

(r_{11}r_{21}\ldots r_{k_{1}1}r_{1})\ldots (r_{1m}r_{2m}\ldots r_{k_{m}m}r_{ m})r=(r_{11}r_{21}\ldots r_{k_{1}1}\ldots r_{1m}r_{2m}\ldots r_{k_{m}m})(r_{1} \ldots r_{m}r)

og tilstedeværelsen af en enhed . $\varepsilon \in R_{1}:(\varepsilon \ldots \varepsilon )r=r,\quad r\varepsilon =r$

En operad siges at være lineær , hvis er mellemrum , symmetriske gruppehandlinger er repræsentationer , og kompositioner er multilineære . $R_n$ $S_{n}$

En algebra over en lineær operad er et rum med multilineære kompositionsoperationer : $EN$

A^{\otimes n}\otimes _{S_{n))R_{n}\to A:a_{1}\otimes \ldots \otimes a_{n}\otimes r\to a_{1} \ldots a_{n}r

med unitaritet og generaliseret associativitetsegenskaber : $a\varepsilon =a$

(a_{11}a_{21}\ldots a_{k_{1}1}r_{1})\ldots (a_{1m}a_{2m}\ldots a_{k_{m}m}r_{ m})r=(a_{11}a_{21}\ldots a_{k_{1}1}\ldots a_{1m}a_{2m}\ldots a_{k_{m}m})(r_{1} \ldots r_{m}r).

Eksempler

Operadkonstruktioner beskriver et sæt algebraiske systemer , topologiske, kombinatoriske objekter.

Den enkleste operad er en associativ ring med enhed :. Algebraen over den er et højremodul . $R$ ${\displaystyle R_{1}=R,\quad R_{>1}=\{0\))$ $R$
Strukturen af en lineær operad kan defineres på familien af gruppe algebraer over symmetriske grupper , såvel som på , hvor er en monoid . ${\displaystyle \{k(S_{n}),\;n\geqslant 1\))$ ${\displaystyle \{k(G^{n}),\;n\geqslant 1\))$ $G$

Historie

Algebraer over operader, uden en eksplicit definition af disse begreber, blev først i det væsentlige brugt af den amerikanske matematiker Stashef papir fra 1963 Kompositionskomplekser blev introduceret af den amerikanske matematiker Murray Gerstenhaber i et papir fra 1968 . Kloner af multilineære operationer og multioperatoralgebraer blev introduceret af den sovjetiske algebraist V. A. Artamonov i et papir fra 1969 . Lidt senere blev det beslægtede begreb operader og algebraer over dem opdaget af den amerikanske topolog J. Peter May. Siden da har vestlige videnskabsmænd betragtet Peter May som opfinderen af operader. [1] Omtrent på samme tid skrev den amerikanske topolog Michael Boardman og den tyske topolog Rainer Vogt, hvad der anses for at være en klassiker i operadteori, og brugte i stedet navnene MacLanes PROPs og Lover's algebraiske teorier.

Noter

↑ uge 220 . Hentet 18. marts 2006. Arkiveret fra originalen 4. marts 2006. (ubestemt)

Litteratur

Stasheff JD Homotopy Associativity of H-Spaces. I // Transaktioner fra American Mathematical Society. - 1963. - bd. 108.-Nr. 2.-s. 275-292.
Gerstenhaber M. Om deformationer af ringe og algebraer:III // Annals of Mathematics, Second Series. - 1968. - bd. 88.-Nr. 1.-s. 1-34.
Artamonov VA Kloner af multilineære operationer og multioperatoralgebraer // Uspekhi Mat. - 1969. - v. 24. - Nr. 1. - s. 47-59.
May JP The geometri of iterated loop spaces // Lecture Notes in Mathematics. - bind. 271. - Berlin: Springer-Verlag, 1972. - 175 s.
bestyrelsesformand JM; Vogt RM Homotopi Invariante algebraiske strukturer på topologiske rum // Lecture Notes in Mathematics. - bind. 347. - Berlin: Springer-Verlag, 1973.