Antoines halskæde

Antoine-halskæden ( Antoine-sæt [1] ) er et eksempel på en delmængde af et euklidisk rum , der er homøomorf til et Cantor-sæt, men som har et ikke- simpelt forbundet komplement.

Bygget af Louis Antoine i 1921 [2] .

Konstruktion

Halskæden opnås som skæringspunktet mellem en aftagende sekvens af kompakte sæt:

K_1\supset K_2\supset\dots

sådan at hver er foreningen af et endeligt antal usammenhængende solide tori . $K_n$

Hvis den maksimale massive torus-diameter i har tendens til nul ved , så skæringspunktet: $K_n$ $n\til\infty$

K=\bigcap_n K_n

er et kompakt , fuldstændig afbrudt sæt uden isolerede punkter, og er derfor homøomorfisk til et Cantor-sæt .

På den anden side kan du vælge en sekvens , så komplementet til den opnåede ikke blot er forbundet; for dette skal krydset med hver solid torus i danne en lukket kæde, som på billedet. $K_n$ $K$ $K_{n+1}$ $K_n$

Se også

Noter

↑ Boltjansky V.G. , Efremovich V.A. Visuel topologi. — M .: Nauka, 1982. — 160 s. - ( Bibliotek "Quantum" ).
↑ Antoine, Louis (1921), "Sur l'homeomorphisme de deux figures et leurs voisinages", Journal Math Pures et appl. 4:221-325