Generel dynamikligning

Mekanikkens generelle ligning er en matematisk formulering af d'Alembert-Lagrange princippet , som giver en generel metode til at løse problemer med dynamik og statik og er et af de grundlæggende principper for teoretisk mekanik .( [1] S.142) Dette princip kombinerer princippet om mulige forskydninger og d'Alembert-princippet

Ligevægt i et mekanisk system

For et frit legeme, det vil sige et legeme, som der ikke er pålagt nogen begrænsninger, er ligevægtstilstanden i det kartesiske koordinatsystem bestemt af ligheden med nul af summen af projektionerne af de kræfter, der virker på hver komponent af systemet på koordinatakser og summen af alle kraftmomenter påført kroppen i forhold til disse akser:

$\Sigma F_{x}(i)=\Sigma F_{y}(i)=\Sigma F_{z}(i)=0$ (en)

og (2) $\Sigma (M_{x}(i)=\Sigma (M_{y}(i)=\Sigma (M_{z}(i)=0$

Opfyldelsen af disse betingelser vil indikere, at den valgte referenceramme er inerti, og derfor vil kroppen i denne referenceramme enten være i hvile eller bevæge sig uden at dreje (inklusive rotation) ensartet og retlinet. ( [1] S.601)

Men opfyldelsen af disse betingelser er ikke nok til, at ligevægten kan opretholdes uanset ydre påvirkninger på systemet. Til dette skal det være bæredygtigt .

Systemets ligevægt anses for stabil, hvis dets komponenter med en lille krænkelse af dets konservatisme, dvs. en ændring i summen af dets kinetiske og potentielle energier ( [1] s. 309) ved ekstern påvirkning, afviger lidt fra ligevægtspositionen og vende tilbage til det efter indflydelsens ophør.

For konservative systemer er den tilstrækkelige betingelse for systemets ligevægt bestemt af Lagrange-Dirichlet-sætningen , ifølge hvilken ligevægten er stabil, hvis positionen af dens ligevægt svarer til den minimale potentielle energi ( [1] S. 797).

Mekaniske forbindelser

Hvis kroppen ikke er fri på grund af de bindinger, der er pålagt den, vil de med formlerne (1) og (2), der ikke refererer til bindingernes reaktioner, bestemme systemets ligevægt. Resten af ligningerne giver information, der gør det muligt at bestemme bindingernes reaktioner, hvilket bliver muligt, hvis bindingerne stift fastgør systemet og forhindrer bevægelser i det ( [1] S.601). Ellers skaber behovet for at tage hensyn til koblingsreaktionerne og indføre dem i bevægelsesligningen et problem, som på ingen måde altid er løseligt. [2]

Princippet om mulige forskydninger

En ændring i et mekanisk systems tilstand bestemmes af en ændring i dets koordinater , som bestemmer antallet af frihedsgrader . I mange tilfælde er deres antal begrænset af forbindelser, som forhindrer visse ændringer ved kraft, der virker på komponenterne i systemet. De resterende muligheder for at ændre koordinater er bestemt af de mulige forskydninger .

Princippet om mulige forskydninger er et af variationsprincipperne i videnskaben om legemers bevægelse. Den etablerer en generel ligevægtstilstand for et mekanisk system. I dette tilfælde forstås ligevægt som en sådan tilstand af et mekanisk system, der er underlagt påvirkning af kræfter, hvor alle de materielle punkter, der danner systemet, ikke ændrer deres position, det vil sige, at de er i hvile i forhold til dette system. Hvis denne ligevægt observeres i en inertiramme , kaldes en sådan ligevægt absolut , i en ikke-inertiel ramme vil balancen kun være relativ .( [1] S.601)

Dette princip siger:

For at opnå ligevægt i et mekanisk system med ideelle (ikke arbejde) bindinger er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at summen af arbejdet af alle aktive kræfter påført systemet ved enhver mulig forskydning af systemet er lig med nul ( [1] S. 81)

$\Sigma (\delta A(i)=\Sigma (F(i)\cos \alpha (i)\delta s(i)=0$ (3)

$\delta A(i)$ der er et elementært arbejde udført af "aktive kræfter" rettet i en vinkel i forhold til retningen af den virtuelle forskydning $F(i)$ $\alfa (i)$ $\delta s(i)$

Forbeholdet om aktive kræfter giver mulighed for fravær af inertikræfter, det vil sige hensynet til mulige forskydninger i en inerti-referenceramme.

Det er essentielt, at antallet af aktive kræfter også omfatter reaktioner af bindinger, der er vanskelige og i nogle tilfælde slet ikke egnede til matematisk beskrivelse. I dette tilfælde viser det sig at være effektivt at indføre absolut stive bindinger i betragtning , som ikke er deformerbare og derfor ikke udfører arbejde. Ligesom inertielle referencerammer er sådanne links en abstraktion, der kun kan accepteres på betingelse af, at fejlene som følge af deres accept ikke overstiger den tidligere aftalte værdi. Men hvis man antager, at bindingerne er absolut stive, er det muligt, når man løser problemet med ligevægt af et mekanisk system ud fra princippet om mulige forskydninger, generelt at udelukke bindingens reaktion fra overvejelse .( [2 ] S.178 −189)

d'Alemberts princip

I tilfælde af at overveje mekaniske systemer, der ikke er i en tilstand af ligevægt, kan koblingsreaktionerne ikke ignoreres. Men mens man fastholder antagelsen om disse bindingers absolutte stivhed, viser det sig, at i dette tilfælde har begrebet binding mistet sit fysiske indhold, og muligheden for at udtrykke bindingernes reaktioner som funktion af koordinater er forsvundet [2 ] , derfor er det umuligt at skrive differentialligninger for bevægelse.

En vej ud af denne vanskelighed blev foreslået af d'Alembert.

Newtons anden lov er skrevet på følgende måde:

${m_{i}}{\vec a}$ = + (4) ${\vec {F}}$ ${\vec {F}}_{b},$

hvor bindingernes reaktionskraft lægges til den kraft, der virker på kroppen ${\vec F}_{b}$

Derefter overføres alle vilkårene for ligestilling til venstre:

( - ) + = 0 (5) ${\vec {F}}$ ${m_{i}}{\vec a}$ ${\vec F}_{b}$

Der er en tilsynekomst af en styrkebalance, som gør det muligt formelt at anvende princippet om mulige forskydninger. Og derfor blev det her muligt ikke at tage hensyn til bindingers reaktionskræfter [2] .

Men kraften (- ) er intet andet end reaktionskraften fra Newtons tredje lov eller den newtonske inertikraft , ikke påført kroppen. Her er den, takket være en kunstig teknik, fastgjort til denne krop. Der er således skabt en paradoksal situation, som består i, at gensidigt kompenserende kræfter virker på kroppen, men kroppen bevæger sig alligevel med acceleration. ${m_{i}}{\vec a}$

Derfor er kraften (- ), som kaldes d'Alembert-inertikraften på grund af, at den ikke er en konsekvens af objektive fysiske processer, men et produkt af subjektiv vilje, bestemt fiktiv [2] . ${m_{i}}{\vec a}$

D'Alembert-Lagrange-princippet

I begyndelsen indeholdt d'Alembert-princippet ingen omtale af inertikræfterne. Men over tid begyndte under vektoren (- ) at forstå inertikraften [3] (Reference i [2] S.131). ${m_{i}}{\vec a}$

I et mekanisk system med ideelle forbindelser er summen af elementært arbejde udført af aktive kræfter og inertikræfter på enhver mulig (virtuel) forskydning lig med nul.

Generel dynamikligning

Det er skrevet sådan:

\Sigma (\delta A_{a}(i)+\delta A_{j}(i))=0

(6)

for ellers:

\Sigma (F_{a}(i)\cos \alpha (i)+F_{j}(i)\cos \beta (i))\delta s(i)=0.

(7)

Her er der elementært arbejde udført af "aktive kræfter" - indeks x = a (det vil sige kræfter, hvis oprindelse i princippet kan spores) og Euler-inerti-indeks - x = j (det vil sige kræfter, der opstår på grund af virkningen af andre aktive kræfter ikke på sig selv i -te komponent af systemet, men til referencerammen, som som et resultat ændrede dets acceleration). $\delta A_{x}(i)$

I (7) antages det, at arbejdet er forårsaget af en kraft rettet i en vinkel for den aktive kraft og i en vinkel for inertialkraften i forhold til retningen af den virtuelle forskydning . $F_{x}(i)$ $\alfa (i)$ $\beta (i)$ $\delta s(i)$

Bemærk

Mekanikkens generelle ligning tager højde for arbejdet med inertikræfter sammen med arbejdet med aktive kræfter. Det betyder, at ud fra de generelle principper for mekanik i forhold til inertikræfterne (mere præcist Euler-inertikræfterne) "... bør det erkendes, at vi ikke har nogen god grund til at tvivle på kræfternes virkelighed. af inerti ...” ( [2] S. 178)

Noter

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Physical Encyclopedic Dictionary / Kap. udg. A. M. Prokhorov. Red.col. D. M. Alekseev, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov og andre - M .: Sov. encyclopedia, 1983.-323 s., il, 2 ark farve ill.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Khaykin, Semyon Emmanuilovich . Træghedskræfter og vægtløshed . M., 1967. Forlaget "Science". Hovedudgaven af fysisk og matematisk litteratur.
↑ Nikolai E. L. samling "Proceedings of the Leningrad Industrial Institute" nr. 6,1936, ONTI, Leningrad