Den største polygon med enhedsdiameter er en polygon med n sider (for et givet tal n ), hvis diameter er lig med én (dvs. to af dens punkter er i en afstand, der ikke overstiger én fra hinanden), og som har det største område blandt andre n - goner med diameter en. Løsningen (ikke entydig) for n = 4 er et kvadrat , løsningen for ulige n er en regulær polygon , mens for den resterende lige n vil den regulære polygon ikke være den største.
Arealet af en vilkårlig firkant ( n = 4) beregnes med formlen S = pq sin( θ )/2, hvor p og q er firkantens diagonaler, og θ er vinklen mellem diagonalerne. Hvis polygonens diameter højst er én, må både p og q højst være 1. En firkant har således et maksimalt areal, når alle tre faktorer når deres maksimalt mulige værdi, det vil sige p = q = 1 og sin( θ ) = 1. Betingelse p = q betyder, at firkanten er ækvidiagonal , og betingelsen sin( θ ) = 1 betyder, at den er ortodiagonal (dens diagonaler er vinkelrette). Blandt disse firkanter er et kvadrat med enhedslængde diagonaler og areal ½, men der er uendeligt mange andre firkanter på samme tid ens- og ortodiagonale med diagonallængder 1, som alle har samme areal som kvadratet. Løsningen er således ikke unik [1] .
For ulige værdier af n viste Karl Reinhardt at en regulær polygon har det største areal blandt alle polygoner med enhedsdiameter [2] .
I tilfælde af n = 6 er den optimale polygon unik, men den er ikke regulær. Løsningen på denne sag blev offentliggjort i 1975 af Ronald Graham som svar på et spørgsmål stillet i 1956 af Hanfried Lenz [3] . Løsningen er en uregelmæssig ligediagonal femkant med en trekant fastgjort til en af siderne, og afstanden fra denne trekants toppunkt til femkantens modsatte toppunkt er lig med længden af femkantens diagonaler [4] . Arealet af denne figur er 0,674981… [5] , og dette tal opfylder ligningen:
4096x10 + 8192x9 - 3008x8 - 30848x7 + 21056x6 + 146496x5 - 221360x4 + 1232x3 + 144464x2 - 78488x + 11993 = _ 0_ 93 = _ 0_ .Graham formodede, at i det generelle tilfælde, for lige n , er løsningen konstrueret på lignende måde fra regulære ( n − 1)-goner (med enhedsdiagonaler) med tilføjelse af en ligebenet trekant til en af siderne, afstanden fra hvis toppunkt til det modsatte toppunkt er ( n − 1) -gon er lig med en. For tilfældet n = 8 blev dette verificeret i 2002 ved hjælp af en computer [6] . Grahams bevis for optimaliteten af hans sekskant og computerens test af tilfældet n = 8 brugte en opregning af alle mulige spor med n toppunkter og lige kanter.
Et fuldstændigt bevis for Grahams formodning for alle lige værdier af n blev givet i 2007 [7] .