Kontinuitetsmodul

For enhver funktion, der er defineret på sættet , kan vi introducere begrebet kontinuitetsmodulet for denne funktion, betegnet med . Kontinuitetsmodulet er også en funktion, per definition lig med $f$ $E$ $\omega _{f}(\delta)$

\omega _{f}(\delta )=\sup\{|f(x_{1})-f(x_{2})|\colon (x_{1},\;x_{2}\ i E)\land |x_{1}-x_{2}|<\delta \},

eller den øvre grænse for oscillationen af funktionen over alle undersegmenter af længde mindre end . Også i litteraturen er der andre betegnelser: og (mindre ofte) . $E$ $\delta$ $\omega (f,\;\delta )$ $\omega (\delta ,\;f)$

Egenskaber for kontinuitetsmodulet

Den introducerede funktion har en række interessante egenskaber.

Uanset hvad , er det ikke-negativt. $\delta$
Funktionen falder ikke.
En funktion er semi- additiv, hvis den er konveks: $E$ $\omega _{f}(\delta _{1}+\delta _{2})\leqslant \omega _{f}(\delta _{1})+\omega _{f}(\delta _{2 }).$
Per definition er kontinuitetsmodulet i punkt 0 0: $\omega _{f}(0){\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}0.$
Ensartet kontinuitetssætning kan formuleres som følger. Hvis en funktion er defineret på et segment og er kontinuerlig på det, så , og omvendt. Denne grænse er også angivet med . $f$ $[a,\;b]$ $\lim _{{\delta \to 0+}}{\omega _{f}(\delta )}=0$ $\omega _{f}(0+)$
Hvis den er kontinuerlig tændt , så er dens kontinuitetsmodul også en kontinuerlig funktion på intervallet . $f(x)$ $[a,\;b]$ $[0,\;ba]$

Relaterede begreber

Kontinuitetsmodulet viste sig at være et subtilt værktøj til at studere forskellige egenskaber ved en funktion, såsom:

hørende til Lipschitz og Hölder klasserne ;
glathed ;
differentiabilitet ;
muligheder for effektiv tilnærmelse af en funktion ved polynomier ( Jackson-Stechkin ulighed )
og mange andre.

Variationer og generaliseringer

Højere ordens kontinuitetsmoduler

Det er let at se, at definitionen af kontinuitetsmodulet bruger den første ordens endelige forskel af funktionen . $f$

\omega _{f}(\delta )=\sup\{|\Delta _{h}^{1}(f,\;x)|\colon (x\in E)\land |h| <\delta \}.

Hvis vi i stedet for den endelige forskel af den første orden tager den endelige forskel af rækkefølgen , så får vi definitionen af ordenens kontinuitetsmodul . Den sædvanlige betegnelse for sådanne moduler er . $n$ $n$ $\omega _{n}(f,\;\delta )$

Egenskaber

Hvis er et heltal, så $k$ $\omega _{n}(f,\;k\delta )\leqslant k^{n}\omega _{n}(f,\;\delta ).$

Ikke-klassiske kontinuitetsmoduler

Der er mange forskellige generaliseringer af begrebet kontinuitetsmodul. For eksempel kan man erstatte den endelige differensoperator med en anden differensoperator med vilkårlige koefficienter. Det er muligt at tillade, at disse koefficienter er ikke-konstante og ændres afhængigt af det punkt, hvor denne differensoperator tages. Du kan også tillade, at det trin, som differensoperatoren tages med, også afhænger af punktet. Sådanne ikke-klassiske kontinuitetsmoduler finder deres anvendelse i forskellige områder af moderne matematik.

Kontinuitetsmodul

Egenskaber for kontinuitetsmodulet

Relaterede begreber

Variationer og generaliseringer

Højere ordens kontinuitetsmoduler

Ikke-klassiske kontinuitetsmoduler

Links