Autoregressiv og distribueret lag model

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 9. januar 2018; verifikation kræver 1 redigering .

Autoregressiv og distribueret forsinkelsesmodel (ADL-model, eng. autoregressive distributed lags ) er en tidsseriemodel , hvor seriens aktuelle værdier afhænger både af de tidligere værdier i denne serie og af de nuværende og tidligere værdier af andre tidsserier. Modellen med én eksogen variabel har formen: $ADL(p,q)$

y_{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{p}a_{i}y_{ti}+\sum _{j=0}^{q}b_{j} x_{tj}+\varepsilon _{t}

Modellen er en AR(p) autoregressiv model (generelt, muligvis med en eksogen variabel uden lags), og modellen er en distribueret lag model . $ADL(p,0)$ $ADL(0,q)$ $DL(q)$

Modellen er generaliseret til tilfældet med flere eksogene variable . I dette tilfælde er betegnelsen af modellen mulig , hvor er antallet af eksogene variable, er antallet af lags af den th variabel, der er inkluderet i modellen. Generelt kan vi antage, at alle eksogene variable er inkluderet i modellen med det samme antal lags, og udelukkelsen af ethvert lag af nogle variabler betyder kun en begrænsning på modellen. Derfor bruges betegnelsen nogle gange , - antallet af eksogene variable, - antallet af lags. Indførelsen af restriktioner på koefficienterne for denne model fører til visse variationer. I denne betegnelse vil den klassiske model blive betegnet som . $x$ $ADL(p,q_{1},q_{2},\dots,q_{k})$ $k$ $q_{i}$ $jeg$ $ADL(p,q;k)$ $k$ $q$ $ADL(p,q)$ $ADL(p,q;1)$

I praksis, for at evaluere sådanne modeller, bruges Box-Jenkins-metoden ofte til at evaluere autoregression og specielle teknikker til at forenkle estimeringen af den distribuerede forsinkelse.

Operatørrepræsentation

Ved at bruge lagoperatoren kan den autoregressive model og distribuerede lag skrives som følger: $L:~Lx_{t}=x_{{t-1}}$

y_{t}=a_{0}+(\sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i})y_{t}+(\sum _{j=0} ^{q}b_{j}L^{j})x_{t}+\varepsilon _{t}

Eller i forkortet form:

a(L)y_{t}=a_{0}+b(L)x_{t}+\varepsilon _{t},~~a(L)=1-(\sum _{i=1 }^{p}a_{i}L^{i}),~~b(L)=(\sum _{j=0}^{q}b_{j}L^{j})

Hvis rødderne af det karakteristiske autoregressive polynomium ligger uden for enhedscirklen (i det komplekse plan) , så kan ADL-modellen repræsenteres som en uendelig distribueret lag-model: $a(z)$

y_{t}={\frac {a_{0}}{a(L)))+{\frac {b(L)}{a(L)))x_{t}+\varepsilon _{ t}

Hvis vi erstatter værdien 1 i stedet for lagoperatoren i dette udtryk, får vi en model for en langsigtet afhængighed mellem variablerne og : $L$ $y$ $x$

y_{t}^{*}={\frac {a_{0}}{a(1)))+{\frac {b(1)}{a(1)))x_{t}^ {*}+\varepsilon _{t}={\frac {a_{0}}{1-\sum _{i=1}^{p}a_{i}}}+{\frac {\sum _{ j=0}^{q}b_{j}}{1-\sum _{i=1}^{p}a_{i}}}x_{t}^{*}+\varepsilon _{t}

Koefficienten på den eksogene variabel kaldes den langsigtede multiplikator . Den meningsfulde fortolkning af dette er som følger. Distribuerede lagmodeller (DL-modeller) gør det muligt at tage hensyn til faktorers efterslæbende indflydelse (sammen med den nuværende). DL-modellens koefficienter kaldes momentummultiplikatorer . De viser effekten af periodeforsinkelse på en endogen variabel. Imidlertid påvirker flere forsinkelsesværdier af faktoren på hvert tidspunkt, derfor på lang sigt er faktorens indflydelseskoefficient (langsigtet multiplikator) lig med summen af impulsmultiplikatorer. Tilføjelse af den autoregressive del til den distribuerede lag-model gør det muligt at tage højde for, ud over den direkte indflydelse, den indirekte, gennem indflydelsen af tidligere værdier af den afhængige variabel på dens fremtidige værdier. Nævneren i langtidsmultiplikatorformlen tager højde for den autoregressive stigning i multiplikatoreffekten. $b_{j}$ $j$

Baseret på tilstedeværelsen af en langsigtet model, kan ADL-modellen repræsenteres i en lidt anden form - i ECM-repræsentationen ( engelsk error correction model - error correction model):

\triangle y_{t}=\sum _{i=1}^{p-1}\alpha _{i}\triangle y_{ti}+\sum _{j=0}^{q-1 }\beta _{j}\trekant x_{tj}-a(1)(y_{t-1}-{\frac {a_{0}}{a(1)))-{\frac {b(1 )}{a(1)}}x_{t-1})+\varepsilon _{t}

Udtrykket i parentes afspejler afvigelsen fra den langsigtede afhængighed på det foregående tidspunkt. Resten af ligningen afspejler den kortsigtede afhængighed. I denne opfattelse er det således klart, at den kortsigtede dynamik korrigeres afhængigt af graden af afvigelse fra langsigtet.

Eksempel

Overvej en model : $ADL(1,1)$

y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+b_{0}x_{t}+b_{1}x_{t-1}+\varepsilon _{t}

ECM-repræsentationen af denne model er:

\triangle y_{t}=b_{0}\triangle x_{t}+(1-a_{1})(y_{t-1}-{\frac {a_{0}}{1-a_ {1}}}-{\frac {b_{0}+b_{1}}{1-a_{1}}}x_{t-1})+\varepsilon _{t}

Kortvarig afhængighed er således udtrykt ved reaktionskoefficienten på en ændring i en faktor sammenlignet med den foregående periode. Denne respons er dog korrigeret for afvigelse fra den langsigtede sammenhæng mellem variable. Den langsigtede multiplikator i dette tilfælde er lig med $b_{0}$ $(b_{0}+b_{1})/(1-a_{1})$

Autoregressiv og distribueret lag model

Operatørrepræsentation

Eksempel

Se også