Shapiro polynomier

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 15. januar 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Shapiro-polynomier er en sekvens af polynomier, som først blev studeret af Harold Shapiro i 1951, da han overvejede værdierne af nogle specielle trigonometriske summer [1] . Fra et signalbehandlingssynspunkt har Shapiro-polynomier gode autokorrelationsegenskaber [2] , og deres værdier i enhedscirklen er små. De første medlemmer af sekvensen:

{\begin{aligned}P_{1}(x)&{}=1+x\\P_{2}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}\\ P_{3}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}+x^{4}+x^{5}-x^{6}+x^{7} \\...\\Q_{1}(x)&{}=1-x\\Q_{2}(x)&{}=1+xx^{2}+x^{3}\\Q_ {3}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}-x^{4}-x^{5}+x^{6}-x^{7}\ \...\\\end{aligned}}

hvor den anden sekvens, Q , kaldes komplementær til den første sekvens, P .

Konstruktion

Shapiro-polynomier kan opnås fra Rudin-Shapiro-sekvensen ( , hvis antallet af delstrenge 11 i den binære repræsentation af n er lige, og ellers ( OEIS A020985 )). Ja osv. $P_{n}(z)$ $a_n$ $a_{n}=1$ $a_{n}=-1$ $a_{0}=1,a_{1}=1,a_{2}=1,a_{3}=-1$

$P_{n}$ er en delsum af rækkefølgen af en potensrække $2^{n}-1$ $f(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+...$

Rudin-Shapiro-sekvensen har en struktur, der ligner den fraktale - for eksempel , det vil sige, at undersekvensen falder sammen med den oprindelige . Denne egenskab fører til de bemærkelsesværdige funktionelle ligninger, der . $a_n$ $a_{n}=a_{{2n}}$ $a_{0},a_{2},a_{4},...$ $\{a_{n}\}$ $f(z)$

Yderligere Shapiro polynomier, , kan defineres gennem den samme sekvens, gennem relationen eller gennem rekursive formler: $Q_{n}(z)$ $Q_{n}(z)=(-1)^{n}z^{{2n}}P_{n}({\frac {-1}{z}})$

P_{0}(z)=1;~~Q_{0}(z)=1;

P_{{n+1}}(z)=P_{n}(z)+z^{{2^{n}}}Q_{n}(z);

Q_{{n+1}}(z)=P_{n}(z)-z^{{2^{n}}}Q_{n}(z).

Egenskaber

En yderligere sekvens, der svarer til , er entydigt bestemt af følgende egenskaber: $Q_{n}$ $P_{n}$

Graden er . $Q_{n}$ $2^{n}-1$
Koefficienterne er lig , koefficienten ved nulgraden er lig med 1. $Q_{n}$ $\pm 1$
Ligheden holder på hele enhedscirklen . $|P_{n}(z)|^{2}+|Q_{n}(z)|^{2}=2^{{n+1}}$ $z\in \mathbb {C} ,|z|=1$

Den mest interessante egenskab ved sekvensen er, at modulet af værdien på enhedscirklen er afgrænset , som er lig for -norm . Polynomier med koefficienter, hvis maksimale modul på enhedscirklen er tæt på middelmodulet, er nyttige i forskellige anvendelser af kommunikationsteori (f.eks. antenneform og datakomprimering ). Egenskab (3) viser, at (P, Q) danner et Golay-par . $P_{n}$ $P_{n}(z)$ ${\sqrt {2^{{n+1))))$ $L_{2}$ $P_{n}$ $\pm 1$

Andre egenskaber ved disse polynomier [3] :

P_{n+1}(z)=P_{n}(z^{2})+zP_{n}(-z^{2});

Q_{n+1}(z)=Q_{n}(z^{2})+zQ_{n}(-z^{2});

P_{n}(z)P_{n}(1/z)+Q_{n}(z)Q_{n}(1/z)=2^{n+1};

P_{n+k+1}(z)=P_{k}(z)P_{n}(z^{2k+1})+z^{2k}Q_{k}(z)P_{ n}(-z^{2k+1});

P_{n}(1)=2^{\lgulv (n+1)/2\rgulv};{~}{~}P_{n}(-1)=(1+(-1)^ {n})2^{\lgulv n/2\rgulv -1}.

Se også

Littlewood polynomier

Noter

↑ John Brillhart og L. Carlitz. Note om Shapiro polynomier // Proceedings of the American Mathematical Society : journal . — Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 25, nr. 1, 1970. - Maj ( bd. 25 , nr. 1 ). - S. 114-118 . - doi : 10.2307/2036537 .
↑ Somaini, U. Binære sekvenser med gode korrelationsegenskaber // Elektronikbogstaver : journal. - 1975. - 26. juni ( bind 11 , nr. 13 ). - S. 278-279 . - doi : 10.1049/el:19750211 .
↑ J. Brillhart; J. J. Lomont, P. Morton. Cyklotomiske egenskaber af Rudin-Shapiro polynomier (engelsk) // J. Reine Angew. Matematik. : journal. - 1976. - Bd. 288 . - S. 37-65 .

Referencer

Borwein, Peter B Beregningsudflugter i analyse og talteori . - Springer, 2002. - ISBN 0387954449 . kapitel 4.