Rum-tid-metrik

Rum-tid-metrikken er 4-tensoren , som definerer egenskaberne for rum-tid i generel relativitetsteori .

Typisk angivet med symbolet . $g_{{ij}}$

I den inertielle referenceramme har matrixen for den metriske rum-tid-tensor formen

{\hat {g}}=\venstre({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right)

I ikke-inertielle referencesystemer ændres formen af rum-tid-metrikken og afhænger generelt af et punkt i rummet og et tidspunkt i tiden.

Rum-tid-metrikken sætter krumningen af rummet , som mærkes af observatøren, som bevæger sig med acceleration . Da observatøren, baseret på ækvivalensprincippet , ikke på nogen måde kan skelne ikke-inertien af referencerammen, der er forbundet med ham, fra gravitationsfeltet, bestemmer rum-tid-metrikken også krumningen af rummet i feltet af massive legemer.

Rum-tid-intervallet udtrykkes gennem rum-tid-metrikken med formlen

{\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j))

Da metrikken sætter transformationerne af koordinater, kaldes den også den metriske tensor .

Rum-tid-metrikken bruges til at etablere en forbindelse mellem kovariante og kontravariante indtastninger af enhver 4-vektor

{\displaystyle A_{i}=g_{ij}A^{j))

Egenskaber

Den metriske tensor er symmetrisk med hensyn til dens indekser, det vil sige . Dette kan ses ud fra den generelle formel for den kvadrerede differens af rum-tidsintervallet. Determinanten for rum-tid-metrikken, som er angivet med g, er negativ. $g_{{ij}}=g_{{ji}}$

Den kontravariante form af den metriske tensor er relateret til den kovariante form ved hjælp af en fuldstændig antisymmetrisk fjerdeordens tensor

E^{ijkl}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}e^{ijkl}

hvor er den sædvanlige fuldt antisymmetriske tensor defineret i inertiereferencen, det vil sige en tensor, hvis komponenter er lig med 1 eller -1 og skifter fortegn, når to vilkårlige indekser ombyttes. $e^{{ijkl}}$

På denne måde

g^{ij}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}e^{ijkl}g_{kl}

Den metriske tensor, som enhver symmetrisk tensor, kan reduceres til en diagonal form ved at vælge et referencesystem. Denne operation er dog kun gyldig til et bestemt tidspunkt i rumtiden og kan generelt ikke udføres i hele rumtiden.

Egen tid

Kvadratet af differensen af rum-tidsintervallet for et rumligt punkt er lig med

ds^{2}=g_{{00}}(dx^{0})^{2}=c^{2}d\tau ^{2}

hvor c er lysets hastighed i vakuum .

værdien

\tau ={\frac {1}{c}}\int {\sqrt {g_{{00}}}}dx^{0}

kaldes korrekt tid for et givet punkt i rummet.

Rumligt interval

Kvadraten på afstanden mellem to uendeligt tætte punkter er givet ved

dl^{2}=\gamma _{{\alpha \beta }}dx^{\alpha }dx^{\beta }=\left(-g_{{\alpha \beta}}+{\frac {g_{ {\alpha 0}}g_{{0\beta }}}{g_{{00}}}}\right)dx^{\alpha }dx^{\beta }

Græske indekser bruges, når summeringen kun udføres over rumlige koordinater. Tensoren er den metriske tensor for tredimensionelt rum. $\gamma _{{\alpha \beta ))$

Det er umuligt at integrere afstanden defineret på denne måde, da resultatet vil afhænge af den verdenslinje, langs hvilken integrationen vil blive udført. I den generelle relativitetsteori mister begrebet afstand mellem fjerne objekter i tredimensionelt rum således sin mening. Den eneste undtagelse er situationen, hvor den metriske tensor ikke afhænger af tid. $g_{{ij}}$

Se også

Statisk isotrop metrisk

Rum-tid-metrik

Egenskaber

Egen tid

Rumligt interval

Se også

Links