Stationær fase metode

Den stationære fase metode er en metode, der bruges til at tilnærme integraler af formen . $\int \limits _{a}^{b}e^{i\lambda \phi (x)}\Phi (x)\,dx$

Grundlæggende

Hovedideen med den stationære fase-metode er at reducere sinusoider med hurtigt skiftende fase. Hvis mange sinusoider har de samme faser, så lægger de sammen og forstærker hinanden. Men hvis disse samme sinusoider har faser, der ændrer sig hurtigt med frekvensen, vil de lægge sammen, enten styrke eller svække hinanden.

Eksempel

Overvej funktionen

f(x,t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }F(\omega)e^{i{\big (}k(\omega )x-\omega t{\big )}}\,d\omega .

Faseleddet i denne funktion er "stationært" når $\phi =k(\omega )x-\omega t$

{\frac {d}{d\omega }}{\big (}k\left(\omega \right)x-\omega t{\big )}\ca. 0

eller tilsvarende,

{\frac {d\omega }{dk))\ca. {\frac {x}{t)).

Roden af denne ligning giver den dominerende frekvens for givet og . Hvis vi udvider φ i en Taylor-række nær og forsømmer de højere ordens vilkår med hensyn til , så $\omega _{\text{dom}}(x,t)$ $x$ $t$ $\omega _{\text{dom}}$ ${\displaystyle (\omega -\omega _{\text{dom)))^{2))$

\phi \sim k(\omega _{\text{dom)))x-\omega _{\text{dom}}t+{\frac {x}{2}}{\frac {d^{ 2}k}{d\omega ^{2}}}(\omega -\omega _{\text{dom}})^{2}.

Når x er stor, vil selv en lille forskel forårsage hurtige svingninger i integranden, hvilket resulterer i en sammentrækning. Således kan vi udvide integrationsgrænserne ud over Taylor-udvidelsesgrænsen. For at tage højde for negative frekvenser skal den reelle del fordobles: $\omega -\omega _{\text{dom}}$

f(x,t)={\frac {1}{2\pi }}2\operatørnavn {Re} \left\{\exp {\big (}i[k(\omega _{\text{ dom)))x-\omega _{\text{dom}}t]{\big )}|F(\omega _{\text{dom}})|\int _{\mathbb {R} }\exp \left(i{\frac {x}{2}}{\frac {d^{2}k}{d\omega ^{2}}}(\omega -\omega _{\text{dom}}) ^{2}\right)\,d\omega \right\}.

Efter integration har vi

f(x,t)\sim {\frac {|F(\omega _{\text{dom)))|}{\pi }}{\sqrt {\frac {2\pi }{x\ venstre|{\frac {d^{2}k}{d\omega ^{2}}}\right|}}}\cos \left(k(\omega _{\tekst{dom}})x-\ omega _{\text{dom}}t\pm {\frac {\pi }{4}}\right).

Bøger

Fedoryuk M. V. Beståelsesmetoden . - 1977. - S. 366.
A. I. Prilepko, D. F. Kalinichenko. Asymptotiske metoder og specielle funktioner. - M. : MEPhI, 1980. - S. 107.
A. G. Sveshnikov, A. N. Tikhonov. Teori om funktioner af en kompleks variabel. - 5. udgave - M . : Nauka, Fizmatlit, 1999. - S. 319. - ISBN 5-02-015233-1 .

Stationær fase metode

Grundlæggende

Eksempel

Bøger

Se også