Logistisk ligning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. marts 2020; checks kræver 6 redigeringer .

Den logistiske ligning , også kendt som Verhulst- ligningen (efter den belgiske matematiker , der først formulerede den ), dukkede oprindeligt op i studiet af befolkningsændringer .

De indledende antagelser for at udlede ligningen, når man betragter befolkningsdynamikken , er som følger:

Ved at angive gennem populationsstørrelsen (i økologi bruges betegnelsen ofte ) og tid - kan modellen reduceres til differentialligningen

hvor parameteren karakteriserer væksthastigheden (reproduktion), og  - miljøets støttekapacitet (det vil sige den maksimalt mulige populationsstørrelse). Baseret på navnet på koefficienterne skelner de ofte i økologi[ afklare ] to strategier for arternes adfærd:

Den nøjagtige løsning af ligningen (hvor  er den oprindelige befolkningsstørrelse) er den logistiske funktion , S-kurve (logistisk kurve):

hvor

Det er klart, at i en "tilstrækkelig mængde ressourcer" situation, det vil sige, så længe P ( t ) er meget mindre end K , vokser den logistiske funktion indledningsvis omtrent eksponentielt :

Tilsvarende, når "ressourceudtømning" ( t  → ∞), falder forskellen eksponentielt med den samme eksponent.

Hvorfor Verhulst kaldte ligningen logistik er stadig ukendt.

Det største bidrag til populariseringen af ​​ideen om befolkningsvækst langs den logistiske kurve blev leveret af den amerikanske biolog Raymond Pearl [ 1] [2] .

I 1920 udgav Pearl sammen med Lowell Jacob Reed Om vækstraten for befolkningen i USA siden 1790 og dens matematiske repræsentation [3] , hvori en ligning af kurven svarende til den, Verhulst præsenterede, blev givet; det vil sige, at den logistiske kurveligning er blevet genopdaget.

Den logistiske kurve efter Verhulst og før Pearl er blevet genopdaget mindst fem gange, som beskrevet af Peter John Lloyd i sin artikel [4] . Og selv efter adskillige publikationer af Pearl blev kurven ved med at blive opdaget [4] .

Efter udgivelsen af ​​et papir om hastigheden af ​​befolkningstilvækst i USA [3] gennemførte Pearl et storstilet forskningsprogram i sit laboratorium om bestanden af ​​Drosophila melanogaster frugtfluer.

Eksperimenter udført for at bestemme den bane, langs hvilken bestanden af ​​fluer stiger i et begrænset rum og med begrænsede føderessourcer, har vist, at under laboratorieforhold viser en koloni af Drosophila-fluer vækst langs den logistiske kurves bane [5] .

Lignende eksperimenter blev gentaget af mange, objekterne var ikke kun Drosophila . Der er mange eksperimentelle data, der viser, at for mange biologiske arter realiseres banerne for ændringer i deres antal i eksperimenter, svarende til Verhulst-Pearl-modellen [1] .

Alle forsøg på at modellere vækstdynamikken i antallet af mennesker i forskellige lande og regioner ved hjælp af den logistiske kurve var mislykkede, i den forstand at forudsigelserne ikke gik i opfyldelse, og laboratorieforsøg med dyr og lavere organismer viste sammenfaldet af deres vækst baner med forløbet af den logistiske kurve [1] .

Hvorfor viser den logistiske lov om vækst sig at være sand under laboratorieforhold, men ikke i det virkelige liv?

Årsagen er, at eksperimenterne i laboratoriet blev udført ved en temperatur, der var behagelig for forsøgspersonerne, med konstant tilgængelighed af mad, fravær af fjender, sygdomme og andre negative fænomener, det vil sige, at forsøgspersonernes levevilkår var tæt på det ideelle. Samtidig viser vækstprocessen sig at være ret deterministisk og forudsigelig. Og befolkningstilvæksten i ethvert land eller region sker under indflydelse af negative faktorer - epidemier, krige, hungersnød, naturkatastrofer. Negative påvirkninger (forstyrrelser) er tilfældige i tid, og vækstprocessen bliver dårligt forudsigelig, sandsynlig [1] .

Siden 1924 begyndte Pearl at argumentere for, at den logistiske kurve afspejler loven om befolkningstilvækst, at vækst langs den logistiske kurve er den universelle lov om vækst af alle levende ting generelt [5] [6] . Biologer, statistikere og økonomer var ikke enige med Pearl i, at dette er en lov, da det matematiske udtryk (formlen) af den logistiske kurve ikke eksplicit indeholder parametrene for den reelt modellerede proces - den indeholder ikke eksplicit de faktorer, som befolkningen er baseret på. størrelse afhænger, og efter periodens talrige kritiske præsentationer og diskussioner blev området for dets anvendelighed som forskningsværktøj bestemt for kurven [1] [2] .

I 1924 anvendte Raymond Pearl ligningen til at beskrive autokatalytiske reaktioner .

Den diskrete analog af den logistiske ligning er det logistiske kort .

Noter

  1. ↑ 1 2 3 4 5 Drozdyuk A. Logistisk kurve .. - Toronto: Choven, 2019. - vi + 271 + [3] s. - ISBN ISBN 978-0-9866300-2-6 .
  2. ↑ 1 2 Kingsland, Sharon. The Refractory Model: The Logistic Curve and the History of Population Ecology  (engelsk)  // The Quarterly Review of Biology. - 1982. - Marts ( vol. 57 , nr. 1 ). — S. 29–52 .
  3. ↑ 1 2 Pearl, Raymond og Lowell J. Reed. Om vækstraten for befolkningen i USA siden 1790 og dens matematiske repræsentation  //  Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America (PNAS; USA). - 1920. - 15. juni ( bind 6 , nr. 6 ). — S. 275–288 .
  4. ↑ 1 2 Lloyd PJ Amerikanske, tyske og britiske forhistorier til Pearl and Reed's Logistic Curve  //  Population Studies. - 1967. - September ( bind 21 , nr. 2 ). — S. 99–108 .
  5. ↑ 1 2 Pearl, Raymond. Befolkningsvækstens biologi . - New York: Alfred A. Knopf, 1925. - xiv + 260 s.
  6. ↑ Pearl, Raymond. Befolkningsvækstens biologi  //  The American Mercury. - 1924. - November ( bind III , nr. 11 ). — S. 293–305 .

Litteratur

Se også