Logistisk display

Et logistisk kort (også kvadratisk kort eller Feigenbaum-kort ) er et polynomisk kort , der beskriver, hvordan bestandsstørrelsen ændrer sig over tid. Han bliver ofte nævnt som et eksempel på, hvordan kompleks, kaotisk adfærd kan opstå fra meget simple ikke-lineære ligninger . Det logistiske kort er en diskret analog til den kontinuerlige logistiske Verhulst- ligning ; det afspejler det faktum, at befolkningstilvæksten sker på diskrete tidspunkter.

Matematisk formulering [1] af kortlægning

x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})

hvor:

x_{n}

tager værdier fra 0 til 1 og afspejler forholdet mellem befolkningsværdien i det -. år og det maksimalt mulige og angiver det oprindelige tal (i år nummer 0);

n

x_{0}

r

er en positiv parameter, der karakteriserer befolkningens reproduktionshastighed (vækst).

Nogle gange kaldes denne formulering Verhulst (eller Verhulst -Pearl ) kortlægning, og den logistiske kortlægning er en anden, men ækvivalent i egenskabsformlen [2] :

x_{{n+1}}=1-\lambda x_{n}^{2}

Denne ikke-lineære kortlægning beskriver to effekter:

på den ene side, når bestandsstørrelsen er lille, formerer den sig med en hastighed, der er proportional med denne størrelse;
på den anden side, da befolkningen lever i et miljø med en begrænset "kapacitet", så med en stigning i befolkningstætheden, falder reproduktionsraten, konkurrencen og dødeligheden stiger.

En af ulemperne ved at bruge kortlægningen som en demografisk model er, at for nogle begyndelsesværdier og parameterværdier giver kortlægningen negative værdier for populationsstørrelsen. Den diskrete Ricoeur-model , som også udviser kaotisk adfærd, har ikke denne mangel.

Adfærd afhængig af parameter $r$

Ved ændring af værdien af parameteren observeres følgende adfærd i systemet [3] . $r$

Hvis den er større end 0 og mindre end 1, vil populationen til sidst dø ud, uanset startbetingelser. $r$
Hvis større end 1 og mindre end 2, vil populationsstørrelsen hurtigt nå en stationær værdi , uanset startforholdene. $r$ ${\frac {r-1}{r))$
Hvis mere end 2 og mindre end 3, vil bestandsstørrelsen på samme måde komme til den samme stationære værdi , men i første omgang vil den svinge noget omkring den. Konvergenshastigheden er lineær overalt, undtagen værdien =3, hvor den er ekstremt lille, mindre end lineær. $r$ ${\frac {r-1}{r))$ $r$
Hvis den er større end 3 og mindre (ca. 3,45), vil populationen svinge uendeligt mellem de to værdier. $r$ $1+{\sqrt {6}}$
Hvis større end 3,45 og mindre end 3,54 (ca.), så vil populationen svinge uendeligt mellem fire værdier. $r$
Med en værdi større end 3,54 vil populationen svinge mellem 8 værdier, derefter 16, 32 og så videre. Længden af parameterændringsintervallet, hvor der observeres fluktuationer mellem det samme antal værdier, falder med . Forholdet mellem to længder af tilstødende intervaller har tendens til at Feigenbaum-konstanten er lig med δ ≈ 4.669... Denne adfærd er et typisk eksempel på en kaskade af periodefordoblingsbifurkationer . $r$ $r$
Ved en værdi på cirka 3,57 begynder kaotisk adfærd, og fordoblingskaskaden slutter. Udsving observeres ikke længere. Små ændringer i startbetingelserne fører til uforlignelige forskelle i systemets videre adfærd over tid, hvilket er hovedkarakteristikken ved kaotisk adfærd. $r$
De fleste værdier over 3,57 udviser kaotisk adfærd, men der er smalle, isolerede "vinduer" af værdier, hvor systemet opfører sig regelmæssigt, almindeligvis omtalt som "periodiske vinduer". Startende med en værdi (ca. 3,83) er der for eksempel et interval af parametre , hvor der observeres fluktuationer mellem tre værdier og for større værdier - mellem 6, derefter 12 osv. Faktisk kan periodiske svingninger findes i systemet med et vilkårligt antal værdier. Sekvensen med at ændre antallet af værdier opfylder Sharkovsky-ordenen . $r$ $1+{\sqrt {8}}$ $r$ $r$
For > 4 forlader kortlægningsværdierne intervallet [0,1] og divergerer under alle startbetingelser. $r$

Resultatet af ovenstående er givet i bifurkationsdiagrammet . Værdierne af parameteren er plottet langs abscisse-aksen , og værdierne taget på store tidspunkter er plottet langs ordinataksen . $r$ $x$

Strukturen af bifurkationsdiagrammet er selv-lignende : hvis du øger arealet, for eksempel ved en værdi på = 3,82 i en af de tre grene, kan du se, at den fine struktur af dette område ligner en forvrænget og sløret version af hele diagrammet. Det samme gælder for ethvert kvarter med ikke-kaotiske punkter. Dette er et eksempel på en dyb forbindelse mellem kaotiske systemer og fraktaler. $r$

Et program til at konstruere et bifurkationsdiagram

Det følgende Python -program bygger et bifurkationsdiagram.

importer matplotlib.pyplot som plt x3 = 0,01 s = [] c = [] l = 0,01 for j i området ( 200 ): x0 = x3 for i i området ( 200 ): x0 = 1 - l * x0 * x0 s . tilføj ( x0 ) c . tilføje ( l ) x3 = x0 l += 0,01 plt . plot ( c , s , 'r.' , ms = 1 ) plt . vis ()

Analytisk løsning

For den nøjagtige analytiske løsning er som følger: $r=2$

x_{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{{2^{n}}}

Noter

↑ Dynamic Chaos Arkiveret 22. marts 2012 på Wayback Machine i Encyclopedia of Physics
↑ V. N. Dumachev, V. A. Rodin. Udvikling af antagonistisk interagerende populationer baseret på den todimensionelle Verhulst-Pearl-model . - Math-Net.ru, 2005. - T. 17 , no. 7 . - S. 11-22 . (Russisk)
↑ " Java-demonstration af bifurkationer af et kvadratisk kort arkiveret 13. maj 2008 på Wayback Machine " på Dr. Evgeny Demidovs hjemmeside.

Logistisk display

Adfærd afhængig af parameter

Et program til at konstruere et bifurkationsdiagram

Analytisk løsning

Noter

Se også

Adfærd afhængig af parameter $r$