Regeret overflade

En styret overflade er en overflade dannet af bevægelsen af en lige linje. Linjerne, der hører til denne overflade, kaldes retlineære generatorer , og hver kurve, der skærer alle retlinede generatorer , kaldes en retningskurve .

Hvis er guidens radiusvektor, a er enhedsvektoren for generatricen, der går igennem , så er radiusvektoren for den regerede overflade $p(u)$ $m=m(u)$ $p(u)$

r=p(u)+v\cdot m(u),

hvor er koordinaten for et punkt på generatricen. $v$

Eksempler

Regeret helicoide
Regeret hyperboloid
Hyperbolsk paraboloid
Cylinder, hyperboloider og kegle som regerede overflader

Egenskaber

En regeret overflade er kendetegnet ved, at dens asymptotiske netværk er semi- geodætisk .
Gaussisk krumning af en regeret overflade . $K\leq 0$
Beltramis sætning. En styret overflade kan altid bøjes på en unik måde, så en vilkårlig streg på den bliver asymptotisk.
Bonnets sætning. Desuden, hvis en styret overflade , som ikke kan udvikles , bøjer ind i en styret overflade , så svarer enten deres generatorer til hinanden, eller begge bøjer dem ind i en quadric, hvor netværket, der svarer til familier af generatorer, er asymptotisk. $F$ $F'$
Den eneste minimale regerede overflade er helicoiden .
En regeret omdrejningsflade er en et-arks hyperboloid , der kan degenerere til en cylinder, kegle eller et plan.
Der er eksempler på glatte linerede overflader, der ikke tillader glatte parametriseringer af formen $r(u,v)=p(u)+v\cdot m(u).$

Typer

En catalansk overflade er en styret overflade, hvor alle retlinede generatorer er parallelle med det samme plan.
En cylindrisk overflade er en linet overflade, hvor alle retlinede generatorer er parallelle.
En conoid er en regeret overflade, hvis generatorer skærer en fast linje.

I arkitektur

Sinusformet regeret tag, Sagrada Familia (Barcelona)
Didcot
Tårnet i Ciechanow
Kobe Tower .
Det første Shukhov-tårn, 1896 Nizhny Novgorod .
Shukhov Tower i Moskva.
trappe i Torrazzo Cremona .
Parabeltag Warszawa .
Konisk hat.
St. Nicholas rotunde i Selo, Slovenien

Variationer og generaliseringer

Overflader dannet af en geodætisk bevægelse i metrisk rum kaldes også regerede overflader. Det klassiske resultat af Aleksandr Danilovich Aleksandrov siger, at en behersket overflade i et CAT(0)-rum med en induceret indre metrik er et CAT(0)-rum. [en]

Noter

↑ A. D. Aleksandrov , Regelede overflader i metriske rum Arkivkopi dateret 22. april 2021 på Wayback Machine , Bulletin fra Leningrad Universitet nr. 1, 1957, s. 5-26

Litteratur

Regnede overflader // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.