Lineær interpolation
Lineær interpolation - interpolation med et algebraisk binomium af en funktion givet ved to punkter og et segment .
![[a,b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
Hvis værdier er angivet på flere punkter, erstattes funktionen af en stykkevis lineær funktion .
Den lineære interpolationsformel er et specialtilfælde af Lagranges interpolationsformel og Newtons interpolationsformel .
Geometrisk fortolkning
Geometrisk betyder det, at man erstatter grafen for funktionen med en ret linje, der går gennem punkterne og .
![{\displaystyle \left[x_{0},f(x_{0})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3252ba6fccac493d131ee7968122ce4334e65537)
![{\displaystyle \left[x_{1},f(x_{1})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a1f7ebaf0faf3315b7bb3ae3540632ed4162b14)
Ligningen for en sådan ret linje er:
herfra til
![{\displaystyle x\in [x_{0},x_{1}]:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def76a228af280afd9088689c28b867f63ed8040)
Dette er den lineære interpolationsformel , mens:
hvor er fejlen i den lineære interpolationsformel.
Hvis den interpolerede funktion har en kontinuerlig anden afledet på interpolationssegmentet, så:
![R_1(x) = \frac{f''(\psi)}{2}(x - x_0)(x - x_1),\quad \psi \in [x_0, x_1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5d14ef042e12da2baf2eb844dffb877e1ac4af5)
På samme tid, baseret på Rolles sætning , er estimatet af interpolationsfejlen gyldigt:
![{\displaystyle M_{2}=\max _{[x_{0},x_{1}]}|f''(x)|;\quad h=x_{1}-x_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2157fab598eaf17e4a800808706d0bca1e6f55b3)
Ansøgning
Lineær interpolation bruges til at reducere størrelsen af tabeller af tabeldefinerede funktioner, mens funktionsværdierne er givet i et reduceret antal punkter, og dets værdier ved punkter, der ikke er i tabellen, beregnes ved hjælp af den lineære interpolation formel.
Et andet eksempel på anvendelse af lineær interpolation er en omtrentlig repræsentation af data som en stykkevis lineær funktion .