Feedback linearisering

Feedback-linearisering er en måde at bringe et system, abstrakt beskrevet i formularen, til den form, hvor der er en ekstern kontrolhandling. I dette tilfælde bliver det ikke-lineære system lineært, og ekstern kontrol er tilvejebragt for stabilisering og kontrol af den resterende lineære del af systemet. $\Delta x=F(x)+G(x)*u$ $\Delta x=v,$ $v$

Som kontrollov anvendes denne kontrollov normalt og fører ofte til kontrolmålet, hvis funktionen er beregnelig. $u=G(x)^{-1}*(vF(x)),$ $G(x)^{{-1}}$

Feedback-linearisering af et skalarsystem

Overvej tilfældet med feedback-linearisering af et system med én indgang og én udgang. Lignende resultater kan opnås for systemer med flere ind- og udgange. Lad det oprindelige system blive repræsenteret som:

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x)+g(x)u\qquad &(1)\\y&=h(x)\qquad \qquad \qquad &(2)\ ende{aligned}}

hvor er systemtilstandsvektoren,

x \in \mathbb{R}^n

u\in \mathbb {R}

input,

y\in {\mathbb {R}}

Afslut.

Find en transformation, der transformerer systemet til normal form: $z=T(x)$

u=a(x)+b(x)v,

nu præsenteres systemet i form af input-output i forhold til det nye input og output . For at det transformerede system skal være ækvivalent med det oprindelige, skal transformationen være en diffeomorfisme , det vil sige ikke kun være enkeltværdifuld, men også glat. I praksis kan transformationen være en lokal diffeomorfi, men så er resultaterne af lineariseringen kun bevaret i dette lokalområde. $v\in {\mathbb {R}}$ $y$

Løgn afledt

Problemet med feedback-linearisering er at konstruere et transformeret system, hvis tilstande er outputtet og dets første afledte. For at nå dette mål bruger vi Lie-derivatet . Overvej den tidsafledede af (2), som kan beregnes ved hjælp af den sammensatte funktionsdifferentieringsregel : $y$ $(n-1)$

{\begin{aligned}{\dot {y}}={\frac {\operatørnavn {d} h(x)}{\operatørnavn {d} t}}&={\frac {\operatørnavn {d } h(x)}{\operatørnavn {d} x}}{\dot {x}}\\&={\frac {\operatørnavn {d} h(x)}{\operatørnavn {d} x}}f (x)+{\frac {\operatørnavn {d} h(x)}{\operatørnavn {d} x}}g(x)u\end{justeret}}.

Nu kan vi definere Lie-derivatet af through som: $h(x)$ $f(x)$

L_{{f}}h(x)={\frac {\operatørnavn {d}h(x)}{\operatørnavn {d}x}}f(x),

og på samme måde Lie-derivatet af gennem som: $h(x)$ $g(x)$

L_{{g}}h(x)={\frac {\operatørnavn {d}h(x)}{\operatørnavn {d}x}}g(x).

Ved at introducere disse notationer definerer vi som: ${\dot {y}}$

{\dot {y}}=L_{f}h(x)+L_{g}h(x)u.

Det skal bemærkes, at brugen af Lie-derivater er praktisk, når vi tager flere derivater enten med hensyn til det samme vektordomæne eller med hensyn til et andet. For eksempel:

L_{f}^{2}h(x)=L_{f}L_{f}h(x)={\frac {\operatørnavn {d} (L_{f}h(x))}{ \operatørnavn {d} x}}f(x)

L_{{g}}L_{{f}}h(x)={\frac {\operatørnavn {d}(L_{{f}}h(x))}{\operatørnavn {d}x}}g( x).

Relativ grad

I et lineariserbart system består tilstandsvektoren af outputvariablen og dens første afledede. Det er nødvendigt at forstå, hvordan input indtastes i systemet. For at gøre dette introducerer vi begrebet relativ grad. System (1), (2) har en relativ grad på et punkt, hvis: $y$ $(n-1)$ $u$ $r\in {\mathbb {W}}$ $x_{0}$

L_{{g}}L_{{f}}^{{k}}h(x)=0\qquad \forall x

i nabolaget for alle :

x_{0}

k\leq r-2

L_{{g}}L_{{f}}^{{r-1}}h(x_{0})\neq 0

Ifølge konklusionen [1] kan den relative grad af systemet således betragtes som det antal gange, outputtet skal differentieres i tid indtil det øjeblik, hvor styringen optræder eksplicit i udgangssignalet . $y$ $y$ $u$ $y$

På samme tid, i teorien om lineære stationære systemer, er den relative grad forskellen mellem graderne af polynomier af tælleren og nævneren af overførselsfunktionen.

Feedback linearisering

Yderligere vil vi antage, at den relative grad af systemet er lig med . I dette tilfælde, ved at differentiere outputtiderne , har vi: $n$ $n$

{\begin{aligned}y&=h(x)\\{\dot {y}}&=L_{f}h(x)\\{\ddot {y}}&=L_{f}^ {2}h(x)\\&\vdots \\y^{(n-1)}&=L_{f}^{n-1}h(x)\\y^{(n)}&= L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{aligned}},

hvor betyder den th afledte af . $y^{{(n)}}$ $n$ $y$

I betragtning af, at den relative grad af systemet er , Lie-derivaterne af formen for er alle lig med nul. Det betyder, at input ikke direkte bidrager til nogen af de første afledte. $n$ $L_{{g}}L_{{f}}^{{i}}h(x)$ $i=1,\prikker ,n-2$ $u$ $(n-1)$

Transformationen , der bringer systemet til normal form, kan defineres ved hjælp af de første afledte. I særdeleshed: $T(x)$ $(n-1)$

z=T(x)={\begin{bmatrix}z_{1}(x)\\z_{2}(x)\\\vdots \\z_{n}(x)\end{bmatrix}}={ \begin{bmatrix}y\\{\dot {y}}\\\vdots \\y^{{(n-1)}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h(x)\ \L_{{f}}h(x)\\\vdots \\L_{{f}}^{{n-1}}h(x)\end{bmatrix}}

transformerer fasebanerne fra det indledende koordinatsystem til det nye . Da den givne transformation er en diffeomorfisme , vil en glat bane i det oprindelige rum have en unik ækvivalent i rummet , som også vil være glat. Disse baner i rummet beskriver et nyt system: $x$ $z$ $z$ $z$

{\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=L_{{f}}h(x)=z_{2}(x)\\{\dot {z}}_{2} &=L_{{f}}^{{2}}h(x)=z_{3}(x)\\&\vdots \\{\dot {z}}_{n}&=L_{{f }}^{{n}}h(x)+L_{{g}}L_{{f}}^{{n-1}}h(x)u\end{cases}}.

Feedbackkontrolloven er således en lineær overførselsfunktion fra til . $u={\frac {1}{L_{{g}}L_{{f}}^{{n-1}}h(x)))(-L_{{f}}^{{n}}h (x)+v)$ $v$ $z_{1}=y$

Det resulterende lineariserede system er:

{\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}&=z_{3}\\&\vdots \\{ \dot {z}}_{n}&=v\end{cases}}

er en kaskade af integratorer, og kontrol kan opnås ved standardmetoder, der anvendes i kontrolteori for lineære systemer. Især kontrolloven, hvor tilstandsvektoren inkluderer output og dets første afledte, hvilket resulterer i et lineært system $n$ $v$ $v=-Kz\qquad ,$ $z$ $y$ $(n-1)$

{\dot {z}}=Az,

hvor

A={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\-k_{1}&-k_ {2}&-k_{3}&\ldots &-k_{n}\end{bmatrix}}.

Ved at vælge de passende kan man således vilkårligt arrangere polerne i et lukket lineariseret system. $k$

Litteratur

Andreev Yu. I. Kontrol af finit-dimensionelle lineære objekter. — M.: Nauka, 1976.
Voronov A. A. Stabilitet, kontrollerbarhed, observerbarhed. — M.: Nauka, 1979.
Ivanov V. A., Jusjtjenko A. S. Teori om diskrete systemer for automatisk kontrol. — M.: Nauka, 1983.
Leung L. Identifikation af systemer. Teori for brugeren. Om. fra engelsk. / Ed. Tsypkina Ya. Z. - M .: Nauka, FIZMATLIT, 1991.
Roytenberg Ya. N. Automatisk styring. — M.: Nauka, Fizmatlit, 1992.
Emelyanov S. V., Korovin S. K. Nye typer feedback. Ledelse under usikkerhed. — M.: Nauka, 1997.
Isidori A. Nonlinear Control Systems, 3. udgave, Springer Verlag, London, 1995.
HK Khalil HK Nonlinear Systems, 3. udgave, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 2002.
Vidyasagar M. Nonlinear Systems Analysis, 2. udgave, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993.
Friedland B. Advanced Control System Design, faksimileudgave, Prentice Hall, Upper Saddle river, New Jersey, 1996.

Noter

↑ Arkiveret kopi . Hentet 24. juli 2019. Arkiveret fra originalen 24. juli 2019. (ubestemt)

Se også

Ikke-lineær kontrol