Euklids Lemma

Alle tal i denne artikel antages at være heltal , medmindre andet er angivet.

Euklids lemma er et klassisk resultat af elementær talteori . Den er formuleret som sætning 30 i bog VII af Euklids elementer og er nøglen til beviset for aritmetikkens grundlæggende sætning . Moderne formulering [1] :

Hvis produktet af flere faktorer er deleligt med et primtal , så er mindst en af faktorerne deleligt med . $s$ $s$

Eksempel. 19 er et primtal, og det deler sig . Derfor er en af faktorerne delelig med 19, nemlig: $19019=133\cdot 143.$ $133=19\cdot 7.$

Hvis det ikke er et primtal, kan sætningen mislykkes. Eksempel: deleligt med 20, men ingen af faktorerne er deleligt med 20. $s$ $4\cdot 15=60$

Bevis

Lad det være deleligt med , men ikke deleligt med . Så og er coprime , derfor er der heltal og sådan $x\cdot y$ $s$ $x$ $s$ $x$ $s$ $u$ $v$

x\cdot u+p\cdot v=1

Hvis vi multiplicerer begge sider med , får vi $y$

(x\cdot y)\cdot u+p\cdot v\cdot y=y.

Begge udtryk på venstre side er delelige med , hvilket betyder, at højre side også er deleligt med osv . [2] $s$ $s$

Hvis produktet er deleligt med og coprime , så er [3] deleligt med $f.Kr$ $-en$ $a,b$ $c$ $en.$

Euklids lemma gælder ikke kun i ringen af heltal, men også i andre faktorielle ringe , hvor primtals rolle spilles af irreducerbare elementer . Især er det gyldigt i euklidiske ringe [4] , for eksempel:

↑ Vinogradov, 1952 , s. tyve.
↑ Kaluznin L. A. Aritmetikkens grundsætning . - M. : Nauka, 1969. - S. 13 (sætning 4). — 32 sek. - ( Populære foredrag om matematik ).
↑ Bukhshtab A. A. Talteori. - M . : Uddannelse, 1966. - S. 46 (Sætning 41). — 384 s.
↑ Leng S. Algebra . - M . : Mir, 1968. - S. 89 -90. — 564 s.

Vinogradov I.M. Fundamentals af talteori. - M. - L. : GITTL, 1952. - 180 s.
Zhikov V.V. Grundlæggende sætning for aritmetik // Soros Educational Journal . - 2000. - T. 6 , nr. 3 . - S. 112-117 .

`* Weisstein, Eric W. Euclid's Lemma (engelsk) på Wolfram MathWorld -webstedet .