Burnside lemma

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 23. juli 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Burnsides lemma (eller Cauchy-Frobenius-lemmaet ) er et klassisk resultat af kombinatorisk gruppeteori, giver et udtryk for antallet af baner i en gruppehandling. Burnsides lemma ligger til grund for beviset for Redfield-Polyi-sætningen .

Ordlyd

Lad være en begrænset gruppe, der handler på settet . Så er antallet af handlingsbaner lig med det gennemsnitlige antal punkter, fikspunkter i elementer . $G$ $x$ $x$ $G$

Mere præcist, for ethvert element fra vil vi angive ved det sæt af elementer , der er tilbage på plads , dvs. $g$ $G$ $X^{g}$ $x$ $g$

X^{g}=\{\,x\in X\mid g\cdot x=x\,\}.

Derefter ( naturligt tal eller uendelig)

|X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|,

her angiver antallet af handlingsbaner. $|X/G|$

Bevis

Antallet af baner er lig , men ifølge formlen for baner , hvor betyder elementets stabilisator , så er summen lig med . Lad os skrive alle elementerne ned i en kolonne og skrive ved siden af hver de elementer , der efterlader dette element ubevægeligt. Så vil et vilkårligt element i gruppen forekomme det samme antal gange, som det efterlader elementerne immobile, det vil sige præcis én gang, og derfor er summen lig med summen , som sagt. $\sum _{m\in X}{\frac {1}{|Orb(m)|}}$ $|Orb(m)|=[G:G_{m}]={\frac {|G|}{|G_{m}|}}$ $G_{m}$ $m$ ${\frac {1}{|G|}}\sum _{m\in X}|G_{m}|$ $x$ $m$ $G$ $g$ $G$ $x$ $|X^{g}|$ $\sum _{m\in X}|G_{m}|$ $\sum _{g\in G}|X^{g}|$

Konsekvenser

Hvis handlingen af en endelig gruppe på et sæt er transitiv , så $G$ $x$

\sum _{g\in G}|X^{g}|=|G|.

Historie

William Burnside formulerede og beviste dette lemma (uden tilskrivning) i en af sine bøger ( 1897 ), men matematikhistorikere har fundet ud af, at han ikke var den første, der opdagede det. Cauchy i 1845 og Frobenius i 1887 kendte også denne formel. Tilsyneladende var lemmaet så velkendt, at Burnside simpelthen udelod Cauchys tilskrivning. Derfor kaldes dette lemma nogle gange for ikke-Burnside-lemmaet . Denne titel er ikke så vag, som den ser ud til: Burnsides arbejde var så frugtbart, at de fleste af lemmaerne på dette område er hans.

Litteratur