Kritisk dynamik

Kritisk dynamik er en gren af teorien om kritisk adfærd og statistisk fysik , der beskriver et fysisk systems dynamiske egenskaber ved eller nær et kritisk punkt . Det er en fortsættelse og generalisering af kritisk statik, der gør det muligt at beskrive mængderne og karakteristika af et system, der ikke kun kan udtrykkes i form af samtidige ligevægtsfordelingsfunktioner . Sådanne mængder er for eksempel transportkoefficienter, afslapningshastigheder, multi-temporale korrelationsfunktioner og responsfunktioner på tidsafhængige forstyrrelser.

Som al statistisk fysik beskæftiger kritisk dynamik sig med et enormt eller endda uendeligt antal frihedsgrader . Udviklingen af sådanne systemer i tid er karakteriseret ved forskellige stokastiske (tilfældige) processer: termisk bevægelse og kollision af molekyler i et gassystem, reorientering af gitterspind i et fast stof, fremkomsten og interaktionen af turbulente hvirvler i en væskestrøm. Formuleringen og løsningen af sådanne problemer udføres ved hjælp af kvantefeltteoriens formalisme , som oprindeligt blev skabt til behovene for højenergifysik og elementarpartikler. Processernes stokasticitet modelleres ved at introducere et yderligere tilfældigt led i de dynamiske ligninger - "støj" med en kendt (normalt Gaussisk ) fordeling.

Kort beskrivelse af systemet

Udtalelse af problemer med stokastisk dynamik

Ved at angive for systemets rumlige koordinater og indekser, for hele sættet af felter i systemet, kan vi nedskrive standardformuleringen af problemet med stokastisk dynamik. $x$ $\phi(x)$

\partial _{t}\phi (x)=U(x;\phi )+\eta (x),\ \\ <{\hat {\eta }}(x){\hat {\eta }}(x')>=D(x,x')

Her er U en given t-lokal funktionel, en tilfældig ekstern kraft, der modellerer alle hurtigt skiftende processer i systemet. Det antages at have en gaussisk fordeling med et nulmiddel og en given korrelator D. Forsinkelsesbetingelsen og nogle randbetingelser er også opfyldt, som normalt til tider tages som nul $\eta$ $t->-\infty$

Dette er den mest generelle form for evolutionsligningen i problemer med stokastisk dynamik. For ethvert valg af den funktionelle U og korrelator D vil det naturligvis ikke have en simpel løsning.

Nedenfor giver vi flere eksempler på problemer med stokastisk dynamik.

Brownsk bevægelse

Lad os skrive ligningerne for den Brownske bevægelse i sproget for stokastisk dynamik:

$\partial _{t}r_{i}(t)=\eta _{i}(t),\ \\ <{\hat {\eta ))_{i}(t){\hat { \eta }}_{k}(t')>=2\alpha \delta _{ik}\delta (tt')$

Her , U = 0, bærer konstanten betydningen af diffusionskoefficienten. $\phi (x)\equiv r_{i}(t)$ $\alfa$

Navier-Stokes-ligningen

Den dynamiske Navier-Stokes-ligning kan også formuleres på dette sprog. De kritiske opgaver for ligningen vil være opgaven med at beskrive turbulens , herunder udviklet turbulens (for systemer med store værdier af Reynolds-tal), at konstruere fordelingsfunktionen af hvirvler over bølgevektoren (i Fourier-repræsentationen af hastighedsfeltet) og test af Kolmogorovs fænomenologiske teori.

\partial _{t}\phi _{i}(x)=\nu \Delta \phi _{i}(x)-\partial _{i}P-\phi _{j}\partial _ {j}\phi _{i}

\partial _{i}\phi _{i}=0\ \

(tværgående tilstand)

Her er det inkompressible hastighedsvektorfelt, er den kinematiske viskositet, og p er trykket. $\phi$ $\nu$

Langevin-type problemer

I klassen af problemer med stokastisk dynamik skelnes der traditionelt en snævrere klasse af problemer med kritisk dynamik, hvor der stilles yderligere betingelser for de felter, der overvejes, og til formen af det funktionelle U (det t-lokale funktionelle på højre side af den dynamiske ligning for felterne). Først, som et sæt af felter af systemet, et sæt felter svarende til den såkaldte. bløde tilstande. En blød tilstand er en hvilken som helst størrelse, hvis udsving i stor skala langsomt slapper af, det vil sige i momentumrepræsentationen har afslapningshastigheden af udsving med en given bølgevektor k tendens til nul ved . For eksempel er ordreparameterfeltet nær det kritiske punkt altid i sig selv en blød tilstand. For det andet vil det funktionelle U være variationsafledningen af den statiske virkning. Lad os skrive den tilsvarende udsagn af problemet ned: $k->0$

$\partial _{t}\phi _{a}=(\alpha _{ab}+\beta _{ab}){\frac {\delta S^{st}(\phi )}{\delta \phi _{b))}+\eta _{a},\ \ \ <{\hat {\eta}}_{a}(x){\hat {\eta}}_{b}(x' )>=2\alpha _{ab}\delta (xx')$

${\displaystyle \alpha _{ab))$ her kaldes Onsager-koefficienten, intermode kobling. $\beta {ab}$

Følgende betingelser er opfyldt for dem:

${\displaystyle \alpha _{ab}=\alpha _{ba))$ , dvs. Onsager-koefficienten er symmetrisk (dette kan let forstås ud fra det faktum, at korrelatoren for forstyrrelser af tilfældige kræfter er symmetrisk per definition)

${\displaystyle \beta _{ab}=-\beta _{ba))$

Underbygningen af egenskaberne ved intermode-kobling udføres ved hjælp af Fokker-Planck-ligningen .

Således svarer redegørelsen for et eller andet problem med kritisk dynamik til tildelingen af et sæt felter, der beskriver systemet, Onsager-koefficienten og intermode-koblingen. Følgende er en liste over de mest anvendte og undersøgte modeller.

Kritiske dynamikmodeller

Efter den klassiske artikel [Hohenberg, Halperin] er her en standardliste over kritiske dynamikmodeller. Alle svarer til den statiske -model for ordreparameterfeltet, handlingen i disse modeller vil blive givet eksplicit. ${\displaystyle O_{n}-\phi ^{4))$

Den statiske -model handling for et n-komponent felt er ${\displaystyle O_{n}-\phi ^{4))$ $\psi$

S^{st}(\psi )=-(\partial \psi )^{2}/2-\tau \psi ^{2}/2-v_{1}(\psi ^{2}) ^{2}/24

Model A og B

A og B er afslapningsmodeller, det vil sige, at intermode-koblingen (den antisymmetriske del af den tilsvarende matrix) er lig nul.

Model A beskriver en anisotrop ferromagnet med et en-komponent ikke-konserveret felt af ordensparameteren, for hvilken projektionen af magnetiseringen på en af koordinatakserne betragtes i det fysiske system;

Model B beskriver en uniakset ferromagnet med et en-komponent bevaret felt af ordensparameteren, som i det fysiske system er repræsenteret ved projektionen af magnetiseringen på en af koordinatakserne.

Model A:

{\displaystyle \phi =\{\psi \},S^{st}(\psi ),\alpha _{\psi }=\lambda _{\psi ))

hvor $\lambda _{a}\equiv const>0\ \ \forall a$

Model B:

{\displaystyle \phi =\{\psi \},S^{st}(\psi ),\alpha _{\psi }=-\lambda _{\psi }\cdot \partial ^{2))

Set ud fra den formelle indstilling adskiller model A og B sig således kun i bevarelsen af rækkefølgeparameterfeltet.

Model C og D

Model C og D er også rent afslappende. De er generaliseringer af modellerne A og B for energibevarelse; de introducerer et yderligere bevaret skalarfelt, der beskriver temperaturudsving. $m(x)=<{\hat {E))(x)>$

Model C:

{\displaystyle \phi =\{\psi ,m\))

, hvor m er et yderligere vedvarende én-komponent felt

S^{st}(\phi )=S^{st}(\psi )-m^{2}/2-v_{2}m\psi ^{2}/2

{\displaystyle \alpha _{\psi }=\lambda _{\psi };\ \ \ \alpha _{m}=-\lambda _{m}\cdot \partial ^{2))

Model D:

{\displaystyle \phi =\{\psi ,m\))