Kontravariant vektor

En kontravariant vektor kaldes sædvanligvis et sæt (søjle) af vektorkoordinater i den sædvanlige basis (det vil sige dens kontravariante koordinater ) eller 1-former i samme basis, hvilket dog ikke er naturligt for den. Den kontravariante vektor i differentialgeometri og relaterede fysiske begreber er tangentrumsvektoren .

Denne definition stemmer overens med definitionen af den kontravariante valens 1 tensor (se Tensor ), som er den kontravariante vektor (tangent rumvektor) som et specialtilfælde af en tensor.

Grundlæggende information

Det er sædvanligt at skrive kontravariante koordinater med et hævet skrift, og også - i matrixnotation - som en kolonnevektor (i modsætning til notationen med en sænket og rækkevektor for kovariante koordinater og følgelig en " kovariant vektor ").

En prøvekontravariant vektor er en forskydningsvektor skrevet som et sæt af koordinattrin: . $\dx^{i}$

Ethvert sæt tal, der transformeres under enhver ændring af koordinater på samme måde (det nye sæt er udtrykt i den samme matrix i form af den gamle) repræsenterer en kontravariant vektor. $\dx^{i}$

Det skal bemærkes, at hvis en ikke-degenereret metrisk tensor er defineret , så er "kovariant vektor" og "kontravariant vektor" simpelthen forskellige repræsentationer (registreringer i form af et sæt tal) af det samme geometriske objekt - en almindelig vektor eller 1-form . Det vil sige, at den samme vektor kan skrives som kovariant (det vil sige et sæt af kovariante koordinater) og kontravariant (det vil sige et sæt af modstridende koordinater). Det samme kan siges om 1-formen. Transformationen fra en repræsentation til en anden udføres simpelthen ved foldning med metrikken :

\ v_{i}=g_{{ij}}v^{j}

\ v^{i}=g^{{ij}}v_{j}

(her og nedenfor mener vi summering over et gentaget indeks, ifølge Einsteins regel).

Indholdsmæssigt skelnes vektorer og 1-former kun ved, hvilken af repræsentationerne der er naturlig for dem. Så for 1-former er det naturligt at udvide på en dobbelt basis, som for eksempel for en gradient, da deres naturlige foldning (skalarprodukt) med en almindelig vektor (f.eks. forskydning) udføres uden deltagelse af en metrik, blot ved at summere de multiplicerede komponenter. For almindelige vektorer, såsom dx i , er det naturligt at udvide i hovedgrundlaget, da de konvolverer med andre almindelige vektorer, såsom forskydningsvektoren i rumlige koordinater, med deltagelse af en metrik. For eksempel opnås en skalar - (som en total differential ) ved at folde uden deltagelse af metrikken for en kovariant vektor , som er en naturlig repræsentation af 1-formen af gradienten, der virker på et skalarfelt, med en kontravariant vektor , som er en naturlig repræsentation af den sædvanlige forskydningsvektor i koordinater; mens det er konvolveret med sig selv ved hjælp af metrikken: , hvilket er i fuld overensstemmelse med det faktum, at det er kontravariant. $\ d\phi =(\partial _{i}\phi )dx^{i}$ $\ \partial _{i}\phi$ $\dx^{i}$ $\dx^{i}$ $\ (dx)^{2}=g_{{ij}}dx^{i}dx^{j}$

Hvis vi taler om almindeligt fysisk rum, er et simpelt tegn på en vektors kovarians-kontravarians, hvordan dens naturlige repræsentation er konvolveret med et sæt af rumlige forskydningskoordinater , som er et eksempel på en kontravariant vektor. Dem, der konvolveres med ved simpel summering, uden deltagelse af metrikken, er en kovariant vektor (1-form), mens dem med deltagelse af metrikken er en kontravariant vektor. Hvis rummet og koordinaterne er så abstrakte og bemærkelsesværdige, at der ikke er nogen måde at skelne mellem hoved- og dobbeltbasis, undtagen ved et vilkårligt betinget valg, så forsvinder den meningsfulde skelnen mellem kovariante og kontravariante vektorer eller bliver også rent betinget. $\dx^{i}$ $\dx^{i}$

Spørgsmålet om, hvorvidt netop den repræsentation, vi ser et objekt i, er naturlig for det, vil blive berørt lidt højere. Naturlig for en almindelig vektor er en kontravariant repræsentation, mens den for en 1-form er kovariant.

Bemærk: Alle disse udtryk er almindeligt brugt i tensoralgebra; det er underforstået, at der på det rum, hvori de beskrevne objekter eksisterer (eller på mangfoldigheden, i hvis tangentrum de findes), er der en metrisk (i det mindste en pseudo-riemannsk). $g_{ij}$

Litteratur

Landau L. D. , Lifshits E. M. Felteori. - 7. udgave, revideret. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoretisk fysik ", bind II). — ISBN 5-02-014420-7 .

Kontravariant vektor

Grundlæggende information

Litteratur

Se også