Koszul kompleks

Koszul-komplekset blev først introduceret i matematik af Jean-Louis Koszul for at definere kohomologiteorien om Lie-algebraer . Det viste sig efterfølgende at være en nyttig generel konstruktion af homologisk algebra . Dens homologi kan bruges til at bestemme, om en sekvens af elementer i en ring er M - regular , og som en konsekvens kan den bruges til at bevise grundlæggende dybdeegenskaber af et modul eller ideal .

Definition

Lad R være en kommutativ ring og E et frit R -modul med endelig rang r . Vi betegner med den i - te ydre potens af E. Så for en R -lineær kortlægning er Koszul-komplekset forbundet med s kædekomplekset af R -moduler $\wedge ^{i}E$ $s:E\to R$

K_{\bullet }(s):0\to \wedge ^{r}E{\overset {d_{r}}{\to }}\wedge ^{r-1}E\to \cdots \ at \kile ^{1}E{\oversætte {d_{1}}{\to }}R\til 0,

hvor differentialet d k er givet af reglen: for enhver e i fra E

{\displaystyle d_{k}(e_{1}\wedge \dots \wedge e_{k})=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}s(e_{ i})e_{1}\wedge \cdots \wedge {\widehat {e_{i))}\wedge \cdots \wedge e_{k))

Hævet betyder, at faktoren springes over. ${\widehat {\cdot ))$

Bemærk at og . Bemærk også at ; denne isomorfi er ikke kanonisk (f.eks. er valget af en volumenform i differentialgeometri et eksempel på en sådan isomorfi). $\wedge ^{1}E=E$ $d_{1}=s$ $\wedge ^{r}E\simeq R$

Hvis E = R r (dvs. der er valgt en basis), så er specificering af en R -lineær mapping s : R r → R ækvivalent med at specificere en endelig sekvens s 1 , …, s r af elementer i R (rækkevektor) og i dette tilfælde betegne $K_{\bullet }(s_{1},\dots ,s_{r})=K_{\bullet}(s).$

Hvis M er et endeligt genereret R -modul, sætter vi

K_{\bullet }(s,M)=K_{\bullet }(s)\nogle gange _{R}M

i -th homologi af Koszul komplekset

\operatørnavn {H} _{i}(K_{\bullet }(s,M))=\operatørnavn {ker} (d_{i}\nogle gange 1_{M})/\operatørnavn {im} (d_ {i+1}\nogle gange 1_{M})

kaldes den i-te Koszul-homologi . For eksempel, hvis E = R r og er en rækkevektor af elementer af R , så er differentialet af Koszul-komplekset $s=[s_{1}\cdots s_{r}]$ ${\displaystyle d_{1}\nogle gange 1_{M))$

s:M^{r}\to M,\,(m_{1},\dots,m_{r})\mapsto s_{1}m_{1}+\dots +s_{r}m_{ r}

\operatorname {H} _{0}(K_{\bullet }(s,M))=M/(s_{1},\dots ,s_{r})M=R/(s_{1} ,\dots ,s_{r})\nogle gange _{R}M.

Også

\operatorname {H} _{r}(K_{\bullet }(s,M))=\{m\in M:s_{1}m=s_{2}m=\dots =s_{r }m=0\}=\operatørnavn {Hom} _{R}(R/(s_{1},\dots,s_{r}),M).

Koszul-komplekser af små dimensioner

Givet et element x af en ring R og et R - modul M , giver multiplikation med x en homomorfi af R - moduler

M\to M.

Når det ses som et kædekompleks (koncentreret i potenserne 1 og 0), betegnes det . Dens homologi er $K(x,M)$

H_{0}(K(x,M))=M/xM,H_{1}(K(x,M))=Ann_{M}(x)=\{m\in M,xm= 0\},

Således lagrer Koszul-komplekset og dets homologi grundlæggende information om egenskaberne ved multiplikation med x .

Kædekomplekset K • ( x ) kaldes Koszul-komplekset af grundstoffet x i ringen R . Hvis x 1 , x 2 , …, x n er elementer af R , Koszul-komplekset af sekvensen x 1 , x 2 , …, x n , normalt betegnet med K • ( x 1 , x 2 , …, x n ) , er tensorproduktet af komplekserne Koszul for hver i . $K_{\bullet }(x_{1})\otimes K_{\bullet }(x_{2})\otimes \cdots \otimes K_{\bullet}(x_{n})$

Koszul-komplekset for et par har formen $(x,y)\in R^{2}$

0\to R{\xrightarrow {\ d_{2}\ }}R^{2}{\xrightarrow {\ d_{1}\ }}R\to 0,

hvor matricerne og er givet som $d_{1}$ $d_{2}$

d_{1}={\begin{bmatrix}x&y\\\end{bmatrix}}

d_{2}={\begin{bmatrix}-y\\x\\\end{bmatrix}}.

Så er cyklusser af grad 1 nøjagtigt lineære relationer mellem elementerne x og y , mens grænser er trivielle relationer. Den første Koszul-homologi H 1 ( K • ( x , y )) beskriver således relationerne modulo trivielle relationer.

I det tilfælde, hvor elementerne x 1 , x 2 , …, x n danner en regulær sekvens, forsvinder al højere Koszul-homologi.

Eksempel

Hvis k er et felt, X 1 , X 2 , …, X d er ukendte, og R er en polynomial ring k [ X 1 , X 2 , …, X d ], Koszul-komplekset K • ( X i ) af sekvens X i er et konkret eksempel på en fri opløsning af et R - modul k .

Litteratur

David Eisenbud , kommutativ algebra. Med henblik på algebraisk geometri, Graduate Texts in Mathematics, bind 150, Springer-Verlag, New York, 1995. ISBN 0-387-94268-8