Frobenius kovariant

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. februar 2022; checks kræver 6 redigeringer .

Frobenius-kovarianterne af en kvadratisk matrix A er specielle polynomier, nemlig projektorerne A i , der er knyttet til egenværdierne og vektorerne af matricen A [1] . Kovarianterne er opkaldt efter den tyske matematiker Ferdinand Georg Frobenius .

Hver kovariant er en projektion på sit eget rum forbundet med sin egen værdi . Frobenius-kovarianterne er koefficienterne for Sylvester-formlen , som udtrykker matrixfunktionen som et matrixpolynomium. $\lambda _{i}$ $f(A)$

Formel definition

Lad A være en diagonaliserbar egenværdimatrix . ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k))$

Frobenius-kovarianten for er matrixen $A_{i}$ $i=1,\dots ,k$

A_{i}\equiv \prod _{j=1 \atop j\neq i}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}-\lambda _{j))}( A-\lambda _{j}E)~.

I det væsentlige er dette et Lagrange-polynomium med en matrix som argument. Hvis egenværdien er enkel, så har den som en projektionsmatrix, der ikke ændrer det endimensionelle rum, et enhedsspor . $\lambda _{i}$ $A_{i}$

Beregning af kovarianter

Frobenius-kovarianterne af matrix A kan opnås fra enhver spektral nedbrydning af matrixen , hvor S er nonsingular og D er en diagonal matrix med . Hvis A ikke har flere egenværdier, så lad være den i -te højre egenvektor af matrix A , dvs. den i - te kolonne af matrix S. Lad være den i -te venstre egenvektor af A , nemlig den i -te række . Så . $A=SDS^{-1}$ ${\displaystyle D_{i,i}=\lambda _{i))$ $c_{i}$ $r_{i}$ $S^{{-1}}$ $A_{i}=c_{i}r_{i}$

Hvis A har en multipel egenværdi , så , hvor summeringen er over alle rækker og kolonner forbundet med egenværdien [2] . $\lambda _{i}$ $A_{i}=\sum _{j}{c_{j}r_{j))$ $\lambda _{i}$