Stiefel-Whitney klasse

Stiefel-Whitney- klassen er en specifik karakteristisk klasse, der svarer til det virkelige vektorbundt . Normalt betegnet med . Tager værdier i , en kohomologiring med koefficienter i . $E\rightarrow X$ $w(E)$ $H^{*}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ $\mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$

Komponenten i th kohomologien betegnes og kaldes th Stiefel-Whitney klasse af bundtet , således at $w(E)$ $jeg$ $H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ $w_{i}(E)$ $jeg$ $E$

w(E)=w_{0}(E)+w_{1}(E)+w_{2}(E)+\ldots \,.

Klasserne er hindringer for konstruktionen af den th lineært uafhængige sektion afgrænset af th skelet . $w_{i}(E)$ $H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ $(n-i+1)$ $E$ $jeg$ $x$

Aksiomatisk definition

Her og nedenfor betegner den ental kohomologi af et rum med koefficienter i gruppen . $H^{i}(X;\;G)$ $x$ $G$

Stiefel-Whitney-klassen er defineret som en kortlægning, der tildeler et bundt et element af homologiringen på en sådan måde, at følgende aksiomer gælder: $E$ $w(E)$

Naturlighed :for enhver bundtog mapping, hvorangiver det tilsvarende inducerede bundt over. $w(f^{*}E)=f^{*}w(E)$ $E\to X$ $f:X'\to X$ $f^{*}E$ $X'$
$w_{0}(E)=1$ i . $H^{0}(X;\;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$
$w_{1}(\gamma ^{1})$ er en generator (normaliseringstilstand). Her er det tautologiske bundt . $H^{1}(\mathbb {R} P^{1};\;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ $\gamma ^{1}$
$w(E\oplus F)=w(E)\smallsmile w(F)$ ( Whitney produktformel ).

Det kan påvises, at klasser, der opfylder disse aksiomer, virkelig eksisterer og er unikke (i det mindste for et parakompakt rum ) [1] $x$

Indledende konstruktion

Stiefel-Whitney klasserne blev foreslået af E. Stiefel og H. Whitney som en modulo reduktion af 2 klasser, der måler forhindringer for konstruktionen af den th lineært uafhængige sektion afgrænset af th skelet . (Her er dimensionen af fibreringsfiberen ). $w_{i}(E)$ $(n-i+1)$ $E$ $jeg$ $x$ $n$ $F$ $E$

Mere præcist, hvis er et CW-kompleks , definerede Whitney klasser i den cellulære kohomologigruppe med ikke-standard koefficienter. $x$ $W_{i}(E)$ $jeg$ $x$

Nemlig den -. homotopigruppe af Stiefel-manifolden af sæt fra en lineært uafhængig vektor i laget tages som koefficienterne . Whitney beviste, at for de klasser, han konstruerede, hvis og kun hvis bundtet begrænset til skelet har en lineært uafhængig sektion. $(i-1)$ $V_{n-i+1}(F)$ $n-i+1$ $F$ $W_{i}(E)=0$ $E$ $jeg$ $x$ $n-i+1$

Da homotopigruppen af en Stiefel-variant altid enten er uendeligt cyklisk eller isomorf , er der en kanonisk reduktion af klasser til klasser , som kaldes Stiefel-Whitney-klasserne . $\pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)$ $\mathbb{Z } _{2}$ $W_{i}(E)$ $w_{i}(E)\in H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$

Især hvis , så falder disse klasser simpelthen sammen. $\pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)=\mathbb {Z} _{2}$

Relaterede definitioner

Hvis vi arbejder på en mangfoldighed af dimensioner , så kan ethvert produkt af Stiefel-Whitney klasser af generel grad parres med -fundamental klasse af denne mangfoldighed, hvilket resulterer i et element ; sådanne tal kaldes for vektorbundtets Stiefel-Whitney-tal . For eksempel, for et bundt på en tredimensionel manifold, er der tre lineært uafhængige Stiefel-Whitney tal svarende til , og . I det generelle tilfælde, hvis manifolden er -dimensionel, svarer forskellige Stiefel-Whitney-tal til opdelinger i en sum af heltalsled. $n$ $n$ $\mathbb{Z } _{2}$ $\mathbb{Z } _{2}$ $w_{1}^{3}$ ${\displaystyle w_{1}w_{2))$ ${\displaystyle w_{3))$ $n$ $n$
- Stiefel-Whitney-tallene for et tangentbundt til en glat manifold kaldes Stiefel-Whitney-tallene for denne manifold. De er kobordisme- invarianter .
Det naturlige reduktionskort modulo two , svarer til Bockstein-homomorfien ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{2))$ $\beta \colon H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})\to H^{i+1}(X;\;\mathbb {Z} ).$

Billedet af klassen under dens handling, kaldes det th heltals Stiefel-Whitney klasse .

w_{i}

\beta w_{i}\in H^{i+1}(X;\;\mathbb {Z} )

(i+1)

Især den tredje hele Stiefel-Whitney klasse er en hindring for konstruktionen af en -struktur. $\mathrm {Spin} ^{C}$

Egenskaber

Hvis bundtet har sektioner, der er lineært uafhængige over hvert punkt, så . ${\displaystyle E^{k))$ ${\displaystyle s_{1},\;\ldots ,\;s_{\ell ))$ $w_{k-\ell +1}=\ldots =w_{k}=0$
$w_{i}(E)=0$ kl . $i>\mathrm {rang} (E)$
Den første Stiefel-Whitney klasse forsvinder, hvis og kun hvis bundtet er orienterbart. Især en manifold er orienterbar, hvis og kun hvis . $M$ $w_{1}(TM)=0$
Bundet indrømmer en spinor-struktur, hvis og kun hvis første og anden Stiefel-Whitney-klasse begge forsvinder.
For et orienterbart bundt ligger den anden Stiefel-Whitney-klasse i billedet af det naturlige kort (eller tilsvarende den såkaldte tredje heltal Stiefel-Whitney-klasse forsvinder), hvis og kun hvis bundtet tillader en -struktur. $H^{2}(M,\;\mathbb {Z} )\til H^{2}(M,\;\mathbb {Z} _{2})$ $\mathrm {Spin} ^{C}$
Alle Stiefel-Whitney-numre for en glat kompakt manifold forsvinder, hvis og kun hvis denne manifold er grænsen (uanset orientering) af en glat kompakt manifold. $x$

Litteratur

Prasolov VV Elementer af homologi teori.
Husemøller D. Fiberbundter . — Springer-Verlag, 1994.
Milnor J. , Stashev J. Karakteristiske klasser. - M . : Mir, 1979. - 371 s.

Noter

↑ se afsnit 3.5 og 3.6 i Hughesmollers bog eller afsnit 8 i Milnor-Stashew.