Kink (matematik)

Et knæk er en løsning på feltligningerne i nogle dimensionelle feltteorier , der interpolerer mellem to vakuum , når den rumlige koordinat ændres fra til . En knæk er den enkleste topologiske soliton . $1+1$ $-\infty$ $+\infty$

Knæk i modellen af et rigtigt skalarfelt

Lad os overveje [1] teorien om et virkeligt skalarfelt i et dimensionsrum med handlingen $1+1$

S=\int d^{2}x\left[{\frac {1}{2}}\phi _{,\mu }\phi ^{,\mu}-V(\phi )\right ],

hvor er feltpotentialet , og $\phi$ $\mu=0,1$

V(\phi )=-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\phi ^{2}+{\frac {\lambda }{4}}\phi ^{4}+ {\frac {\mu ^{4}}{4\lambda }}={\frac {\lambda }{4}}(\phi ^{2}-v^{2})^{2},~~ v={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda ))}.

Handlingen er invariant under en diskret transformation ; denne symmetri er spontant brudt, da de klassiske vakuum er ens . $\phi =-\phi$ $\phi ^{vac}=\pm v$

Fra princippet om mindste handling opnås feltligningen

\phi _{,\mu }^{~~\mu}+{\frac {\partial V(\phi)}{\partial \phi ))=0.

Vi vil lede efter en statisk, det vil sige tidsuafhængig løsning af feltligningerne. I dette tilfælde reduceres feltligningen til

\phi ''-{\frac {\partial V(\phi )}{\partial \phi }}=0,

hvor primtal betegner den afledede med hensyn til den rumlige koordinat. Den resulterende ligning har følgende løsning:

\phi =v\tanh(\pm {\sqrt {\frac {\lambda }{2}}}v(x-x_{0}))={\frac {\mu }{\sqrt {\ lambda ))}\tanh {(\pm {\frac {\mu }{\sqrt {2))}x)},

hvor er integrationens konstant. Denne løsning er den enkleste statiske kink , der interpolerer mellem vakuum, og når den rumlige koordinat ændres fra til . En signeret løsning kaldes en antikink . $x_{0}$ $-v$ $+v$ $-\infty$ $+\infty$ $-$

Løsningsegenskaber

Størrelsen af knæk er af størrelsesordenen , det vil sige størrelsesordenen af Compton-bølgelængden af den elementære excitation. Faktisk kinkens energitæthed ${\displaystyle r_{k}=\mu ^{-1))$

\epsilon (x)={\frac {1}{2}}\phi '^{2}+V(\phi )={\frac {\lambda }{2}}v^{4}{ \frac {1}{\cosh ^{4}({\frac {\mu }{\sqrt {2))}(x-x_{0)))))

afviger kun væsentligt fra nul i regionen . ${\displaystyle |x-x_{0}|\lesssim r_{k))$

Den statiske energi af kinken er

\int _{-\infty }^{\infty }\epsilon (x)dx={\frac {2}{3}}mv^{2},

hvor er massen af den elementære excitation. $m={\sqrt {2}}\mu$

Den resulterende løsning er ikke invariant under rumlige oversættelser og Lorentz-transformationer. Disse transformationer oversætter dog feltligningernes løsninger til andre løsninger. Ved at anvende oversættelser og Lorentz-transformationen opnår vi følgende familie af ikke-statiske løsninger:

\phi ={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda ))}\tanh {(\pm {\frac {\mu }{\sqrt {2))}{\frac {(x- x_{0})-ut}{\sqrt {1-u^{2)))))},

hvor er hastigheden af det bevægelige kink. $u$

Knæk i modellen af et komplekst skalarfelt

Lad os overveje [1] teorien om et komplekst skalarfelt i et dimensionsrum med Lagrangian $1+1$

\Lambda =\phi _{,\mu }{\bar {\phi }}^{,\mu}+\mu ^{2}\phi {\bar {\phi}}-{\frac { \lambda }{2}}(\phi {\bar {\phi }})^{2}.

Princippet om mindste handling fører til følgende feltligninger:

\phi _{,\mu }^{~~\mu }=\mu ^{2}\phi -\lambda \phi ^{2}{\bar {\phi )),

{\bar {\phi}}_{,\mu}^{,\mu}=\mu ^{2}{\bar {\phi}}-\lambda {\bar {\phi}}^ {2}\phi .

De resulterende ligninger har en knækløsning fra teorien om et reelt skalarfelt

\phi ={\bar {\phi }}={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\tanh {(\pm {\frac {\mu }{\sqrt {2} }}x)}.

Kink i sinus-Gordon-ligningen

Lad os overveje [1] teorien om et reelt skalarfelt i et dimensionsrum med Lagrangian $1+1$

\Lambda =\phi _{,\mu}\phi ^{,\mu}+m^{2}v^{2}[\cos {\frac {\phi}{v}}-1] .

Princippet om mindste handling fører til ligningen

\phi _{,\mu }^{~~\mu}+m^{2}v\sin {\frac {\phi}{v))=0,

som reduceres ved substitution til sinus-Gordon-ligningen $x\rightarrow mx,~~t\rightarrow mt,~~\phi \rightarrow {\frac {\phi}{v))$

\phi _{tt}-\phi _{xx}+\sin \phi =0,

som har følgende særlige løsninger [2] , der repræsenterer knæk, der bevæger sig med hastighed , interpolerer mellem vakuum og når der skiftes fra til : $v$ $\phi _{0}=2\pi k,~~k\in \mathbb {Z}$ $\phi _{0}+2\pi$ $x$ $-\infty$ $+\infty$

\phi (x,t)=\phi _{0}+4\arctan \left\{\exp \left[\pm {\frac {x+vt}{\sqrt {v^{2}- 1}}}+\delta \right]\right\},

hvor er en vilkårlig konstant. Tegnet svarer til kinken, tegnet til antikinket. $\delta$ $+$ $-$

Noter

↑ 1 2 3 * Rubakov V.A. Klassiske sporfelter. Bosoniske teorier. - M . : KomKniga, 2005. - S. 133-143. — 296 s.
↑ * Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Håndbog i ikke-lineære ligninger i matematisk fysik. - M. : FIZMATLIT, 2002. - S. 144. - 432 s.

Litteratur

T. I. Belova , A. E. Kudryavtsev, Solitons og deres interaktioner i klassisk feltteori
VA Gani, AE Kudryavtsev, MA Lizunova, Kink-interaktioner i den (1+1)-dimensionelle φ 6 - model, Phys. Rev. D 89, 125009 (2014) ; [https://web.archive.org/web/20161220140059/https://arxiv.org/abs/1402.5903 Arkiveret 20. december 2016 på Wayback Machine arXiv:1402.5903 [hep-th]].
VA Gani, V. Lensky, MA Lizunova, Kink-excitationsspektre i den (1+1)-dimensionelle φ 8 - model, JHEP 08 (2015) 147 ; [https://web.archive.org/web/20161220135634/https://arxiv.org/abs/1506.02313 Arkiveret 20. december 2016 på Wayback Machine arXiv:1506.02313 [hep-th]].