Interpolationsformler

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 5. oktober 2016; checks kræver 6 redigeringer .

Interpolationsformler - i matematik formler, der giver et tilnærmet udtryk for en funktion ved hjælp af interpolation , det vil sige gennem et interpolationspolynomium af grad , hvis værdier på givne punkter falder sammen med værdierne for funktionen ved disse punkter. Polynomiet er defineret på en unik måde, men afhængigt af opgaven er det praktisk at skrive det i forskellige formler. $f(x)$ $P_n(x)$ $n$ ${\displaystyle x_{0},\;x_{1},\ldots ,x_{n))$ ${\displaystyle y_{0},\;y_{1},\ldots ,y_{n))$ $f$ $P_n(x)$

Lagranges interpolationsformel

Funktionen kan interpoleres på et segment af et interpolationspolynomium skrevet i Lagrange-formen [1] : $f$ $[x_{0},x_{n}]$ $P_n(x)$

P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}y_{k}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots ( x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\ldots (x-x_{n})}{(x_{k}-x_{0})(x_{k}-x_{ 1})\ldots (x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})\ldots (x_{k}-x_{n})}},

mens fejlen ved at interpolere funktionen med et polynomium [2] : $\f(x)$ $\P_n(x)$

|f(x)-P_n(x)|\le \frac {\|f^{(n+1)}(x)\|} {(n+1)!}\cdot \|\Pi_n(x) \|, \qquad \Pi_n(x)=(x-x_0)(x-x_1) \ldots(x-x_n).

I rummet af reelle kontinuerlige funktioner antager de tilsvarende normer formen:

\|f^{(n+1)}(x)\|= \max_{x \in [x_0,x_n]}|f^{(n+1)}(x)|, \qquad \|\Pi_n (x)\|=\max_{x \i [x_0,x_n]}|\Pi_n(x)|.

Newtons interpolationsformel

Hvis punkterne er placeret i lige store afstande , kan polynomiet skrives som [3] : ${\displaystyle x_{0},\;x_{1},\ldots ,x_{n))$ $(x_{k}=x_{0}+kh)$ $P_n(x)$

P_{n}(x_{0}+th)=y_{0}+t\Delta y_{0}+{\frac {t(t-1)}{2))\Delta ^{2} y_{0}+\ldots +{\frac {t(t-1)\cdots (t-n+1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0}.

Her , og er den endelige rækkefølge forskel . Dette er den såkaldte Newton-formel for fremad interpolation. Dens navn angiver, at den indeholder de givne værdier svarende til interpolationsnoderne placeret lige til højre for . Denne formel er praktisk, når man interpolerer funktioner for værdier tæt på . Ved interpolering af funktioner for værdier tæt på , er det tilrådeligt at transformere Newtons formel ved at ændre oprindelsen (se nedenfor Stirling- og Bessel-formlerne). $x_{0}+th=x$ $\Delta ^{k}$ $k$ $f$ $x_{0}$ $x$ $x_{0}$ $x$ $x_k$

En kort form for Newtons interpolationsformel for tilfældet med ækvidistante noder [4] :

P_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}\left(C_{x}^{m}\sum _{k=0}^{m}(-1) ^{k}\,C_{m}^{k}\,f(k)\right)

hvor er de binomiale koefficienter generaliseret til domænet af reelle tal . $C_{x}^{m}$

Newtons formel kan også skrives for ulige fordelte noder ved at bruge de opdelte forskelle til dette . I modsætning til Lagrange-formlen, hvor hvert led afhænger af alle interpolationsknuder, afhænger ethvert led i Newtons formel af de første (fra oprindelsen) noder, og tilføjelse af nye noder tilføjer kun nye led til formlen, hvilket giver den en fordel i med hensyn til omkostningseffektivitet af beregninger [5] . $k$

Stirlings interpolationsformel

Hvis vi bruger et sæt af noder , hvor , så ved hjælp af Newtons formel, kan vi opnå Stirling-formlen [6] : $x_{k}=x_{0}+kh$ $k=-n,\;-n+1,\ldots ,-1,\;0,\;1,\ldots ,n$

P_{n}(x_{0}+th)=y_{0}+t\delta y_{0}+{\frac {t^{2}}{2}}\delta ^{2}y_ {0}+\ldots +{\frac {t(t^{2}-1)\ldots (t^{2}-(n-1)^{2})}{(2n-1)!}} \delta ^{2n-1}y_{0}+{\frac {t^{2}(t^{2}-1)\ldots (t^{2}-(n-1)^{2}) }{(2n)!}}\delta ^{2n}y_{0}.

Her , og er den centrale endelige forskel i orden . $t={\frac {x-x_{0}}{h}}$ ${\displaystyle \delta ^{k))$ $k$

Bessels interpolationsformel

På lignende måde kan man få Bessel-formlen, som har formen [7]

P_{n}(x_{0}+th)=y_{1/2}+\left(t-{\frac {1}{2}}\right)\Delta y_{1/2}+ {\frac {t(t-1)}{2}}\Delta ^{2}y_{1/2}+\cdots +{\frac {t(t^{2}-1)\cdots (t^ {2}-(n-1)^{2})(tn)}{(2n)!}}\Delta ^{2n}y_{1/2}+{\frac {t(t^{2}- 1)\cdots (t^{2}-(n-1)^{2})(tn)(t-{\frac {1}{2)))}{(2n+1)!}}\Delta ^{2n+1}å_{1/2}.

Denne formel er især praktisk til interpolation ved , da i dette tilfælde alle udtryk, der indeholder endelige forskelle af en ulige orden, forsvinder. Dette tilfælde svarer til værdien , det vil sige interpolation "til midten" [8] . $t={\frac {1}{2}}$ $x=x_{0}+{\frac {1}{2}}h$

Se også

Noter

↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , s. 85.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , s. 91.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , s. 119.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , s. 115.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , s. 107.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , s. 127.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , s. 129.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , s. 130.

Litteratur

Goncharov, VL Teori om interpolation og tilnærmelse af funktioner. - 2. udg., revideret .. -M .:Statens forlag for teknisk og teoretisk litteratur, 1954.
Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Beregningsmetoder. - 2. udg. -M .:Fizmatlit, 1962. - T. I. (Russisk)