Whittaker-Shannon interpolationsformel
Whittaker-Shannon interpolationsformlen bruges til at rekonstruere et kontinuerligt signal med et begrænset spektrum fra en sekvens af prøver med lige store afstande.
Interpolationsformlen, som den normalt kaldes, går tilbage til Émile Borels arbejde , dateret 1898, og Edmund Whittakers arbejde , dateret 1915. Interpolationsformlen blev citeret fra værket af Edmund Whittakers søn, John McNaten Whittaker, dateret 1935, i form af Nyquist-Shannons prøveudtagningssætning i 1949, forfatteren af redaktionen var Claude Shannon , før Shannon blev denne sætning formuleret af Kotelnikov . Interpolationsformlen kaldes også normalt for Shannons interpolationsformel , eller Whittakers interpolationsformel .
Sampling-sætningen siger, at en funktion under visse begrænsende betingelser kan rekonstrueres ud fra dens diskretisering, ifølge Whittaker-Shannon-interpolationsformlen :
![{\displaystyle x[n]=x(nT)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf9d6e2763c5e892b633aaf8be4bf00618515188)
![{\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {t-nT}{T))\ ret),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f6d2d2f00e664ba75bdd968b2ae659ab41e7ded)
hvor er prøvetagningsperioden, er prøvetagningsfrekvensen, er den normaliserede sinc-funktion .
Grænsebetingelser
Der er to grænsebetingelser, som funktionen skal opfylde , for at interpolationsformlen kan holde:
- bør begrænses. Fourier-transformationen for en funktion skal have følgende egenskab: for , hvor .
- Samplingsfrekvensen skal være mindst mere end det dobbelte af frekvensområdet , eller tilsvarende:
hvor er prøveudtagningsperioden.
Interpolationsformlen genskaber kun det oprindelige signal , når disse to betingelser er opfyldt. Ellers er der en overlejring af højfrekvente komponenter på lavfrekvente - aliasing .
Interpolation som en sum af foldninger
Interpolationsformlen afledt i Kotelnikovs sætning indikerer, at den også kan udtrykkes som en foldning af Dirac-"kammen" med sinc-funktionen :
![{\displaystyle x(t)=\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)\right)*\mathrm {sinc} \left ({\frac {t}{T}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94e87c26466baa6a011c9ef6b59a06c04f223fe)
Dette svarer til Diracs "kam"-filtrering med et ideelt lavpasfilter .
Konvergens
Interpolationsformlen konvergerer altid, naturligvis og lokalt ensartet, under betingelsen:
![{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} ,\;n\neq 0}\left|{\frac {x[n]}{n))\right|<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc98dad55190ee968c1c9dc795abb0ee2583f8d8)
Hölders ulighed anses for at være opfyldt, hvis sekvensen tilhører et af - mellemrum , hvor , hvilket svarer til betingelsen:
![{\displaystyle \{x[n]\}_{n\i \mathbb {Z} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c0c91be80ad27a84ec791ae7244bcf2ec9298d)
![{\displaystyle \sum _{n\i \mathbb {Z} }|x[n]|^{p}<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/245713d910b10a53e503661536c3123c1d6e8e7b)
Denne betingelse er tilstrækkelig, men ikke nødvendig.
Tilfældige stationære processer
If er en uendelig sekvens af aflæsninger af en diskret funktion i bred forstand af en stationær proces , og den er ikke et medlem af nogen eller -rum, med sandsynlighed 1; så tager summen af disse aflæsninger, hævet til potensen , ikke den endelige forventede værdi. Selvom interpolationsformlen konvergerer med en sandsynlighed på 1. Konvergens kan let vises ved at beregne forskellen under begrænsede summeringsbetingelser, og viser at forskellen kan gøres vilkårligt lille ved at vælge et tilstrækkeligt antal betingelser. Hvis denne proces er ikke-nul, så skal par af betingelser betragtes på en sådan måde, at de viser, at den forventede værdi fra de afgrænsede udtryk konvergerer til nul.
Da den tilfældige proces ikke har en Fourier-transformation , skal betingelsen, hvorunder summen konvergerer til den oprindelige funktion, også være anderledes. En uforanderlig tilfældig proces har en autokorrelationsfunktion og dermed en monokromatisk tæthed i overensstemmelse med Wiener-Khinchin-sætningen . En tilstrækkelig betingelse for konvergens til en diskret funktion af denne proces er, at den spektrale tæthed er nul ved alle frekvenser større end eller lig med halvdelen af samplingen.