Interpolationsformel for Brahmagupta

Interpolationsformlen for Brahmagupta er en interpolationsformel af den anden polynomieorden, fundet af den indiske matematiker og astronom Brahmagupta (598-668) i begyndelsen af det 7. århundrede e.Kr. En poetisk beskrivelse af denne formel på sanskrit findes i den ekstra del af Khandakhodyaka, et værk færdiggjort af Brahmagupta i 665 [1] . Den samme kuplet findes i hans tidligere værk Dhyana-graha-adhikara, hvis nøjagtige dato ikke er blevet fastslået. Imidlertid antyder den interne sammenkobling af værkerne, at det blev skabt tidligere end videnskabsmandens hovedværk, afsluttet i 628, " Brahma-sphuta-siddhanta ", så skabelsen af en andenordens interpolationsformel kan tilskrives til den første fjerdedel af det 7. århundrede [1] . Brahmagupta var den første til at finde og bruge andenordens endelige forskelsformel i matematikkens historie [2] [3] .

Brahmaguptas formel falder sammen med Newtons andenordens interpolationsformel , som blev fundet (genopdaget) efter mere end tusind år.

Udfordring

Som astronom var Brahmagupta interesseret i at udlede nøjagtige værdier for sinus fra det lille antal kendte tabulerede værdier for denne funktion. Således stod han over for opgaven med at finde værdien i henhold til værdierne for den funktion, der er tilgængelig i tabellen: $f(x)$ $x_{r}<x<x_{{r+1}}$

$x$	$x_{1}$	$x_{2}$	…	$x_{r}$	$x_{r+1}$	$x_{r+2}$	…	$x_{n}$
$f(x_r)$	$f_1$	$f_{2}$	…	$f_{r}$	$f_{r+1}$	$f_{r+2}$	…	$f_n$

Forudsat at værdierne af funktionen beregnes ved punkter med et konstant trin , ( for alle ), foreslog Aryabhata at bruge (tabel) første endelige forskelle til beregninger: $h$ $x_{{r+1}}-x_{r}=h$ $r$

D_{r}=f_{{r+1}}-f_{r}

Matematikere før Brahmagupta brugte den åbenlyse lineære interpolationsformel

f(x)=f_{r}+tD_{r}

hvor . $t=(x-x_{r})/h$

Brahmagupta erstattede denne formel med en buefunktion af endelige forskelle, hvilket gør det muligt at opnå mere nøjagtige værdier af den interpolerede funktion i rækkefølge. $D_{r}$

Brahmaguptas beregningsalgoritme

I Brahmaguptas terminologi kaldes forskellen det tidligere segment (गत काण्ड), det nyttige segment kaldes (भोग्य काण्ड). Længden af segmentet til interpolationspunktet i minutter kaldes stumpen (विकल). Det nye udtryk, der skal erstattes , kaldes det korrekte nyttige segment (स्फुट भोग्य काण्ड). Beregningen af det korrekte nyttige segment er beskrevet i couplet [4] [1] : $D_{{r-1}}$ $D_{r}$ $x-x_{r}$ $D_{r}$

Ifølge kommentaren til Bhuttopala (X århundrede) er versene oversat som følger [ 1 ] [ 5 ] : Hvis mere, så træk fra. Du får den korrekte brugbare forskel [6] .

900 minutter (15 grader) er intervallet mellem argumenterne for tabelværdierne for sinusen brugt af Brahmagupta. $h$

Brahmaguptas formel i moderne notation

I moderne notation er Brahmagupta-beregningsalgoritmen udtrykt ved formlerne:

{\begin{aligned}f(x)&=f_{r}+t({\frac {D_{r}+D_{{r-1}}}{2}}+t{\frac {D_{{ r}}-D_{{r-1}}}{2}})\\&=f_{r}+t{\frac {D_{r}+D_{{r-1}}}{2}} +t^{2}{\frac {D_{{r}}-D_{{r-1}}}{2}}.\end{aligned}}

Dette er Newtons andenordens interpolationsformel [7] [8] .

Bevis

Det vides ikke, hvordan Brahmagupta opnåede denne formel [1] . I vores tid er sådanne formler bevist ved hjælp af udvidelsen af funktioner i retten til at vokse ligheder i en Taylor-serie på et tidspunkt . Formlen kan dog også bevises med elementære metoder: efter udskiftningen sætter Brahmagupta-formlen en parabel, der går gennem tre punkter . For at udlede denne formel er det tilstrækkeligt at finde koefficienterne for denne parabel ved at løse et system af tre lineære ligninger defineret af disse punkter. $f(x+kh),k=1,2,...$ $x$ $t=(x-x_{r})/h$ $(x_{{r-1}},f_{{r-1}}),(x_{r},f_{r}),(x_{{r+1}},f_{{r+1}} )$

Præcisionsformel

Computerberegning viser, at med en tabel med 7 værdier af sinus ved noderne med et trin på 15 grader, kunne Brahmagupta beregne denne funktion med en maksimal fejl på højst 0,0012 og en gennemsnitlig fejl på højst 0,00042.

Noter

↑ 1 2 3 4 5 Gupta, RC Andenordens interpolation i indisk matematik op til det femtende århundrede // Indian Journal of History of Science: tidsskrift. — Bd. 4 , nr. 1 & 2 . - S. 86-98 .
↑ Van Brummelen, GlenHimlenes og jordens matematik: trigonometriens tidlige historie (engelsk) . - Princeton University Press , 2009. - S. 329. - ISBN 9780691129730 . (s.111)
↑ Meijering, Erik. En kronologi af interpolation fra gammel astronomi til moderne signal- og billedbehandling // Proceedings of the IEEE : journal. - 2002. - Marts ( bind 90 , nr. 3 ). - s. 319-342 . - doi : 10.1109/5.993400 .
↑ Dhyana-Graha-Upadesa-Adhyaya, 17; Khandaka Khadyaka, IX, 8
↑ Raju, C K. Matematiks kulturelle grundlag: matematiske bevisers natur og overførslen af kalkulationen fra Indien til Europa i det 16. århundrede. CE (engelsk) . — Pearson Education Indien, 2007. - S. 138-140. — ISBN 9788131708712 .
↑ Den sidste del af algoritmen skyldes, at matematikere før Brahmagupta og i lang tid efter ham ikke brugte begrebet et negativt tal. Derfor blev ikke forskellen faktisk beregnet, men forskellens modul , og så blev dette ikke-negative tal adderet eller subtraheret, afhængigt af forskellens fortegn, bestemt ved hjælp af uligheden. ${\frac {|D_{{r-1}}-D_{{r}}|}{2}}$
↑ Milne-Thomson, Louis Melville. Calculus of Finite Differences (neopr.) . - AMS Chelsea Publishing, 2000. - S. 67-68. — ISBN 9780821821077 .
↑ Hildebrand, Francis Begnaud. Introduktion til numerisk analyse (neopr.) . - Courier Dover Publications , 1987. - S. 138 -139. — ISBN 9780486653631 .