Volterra integralligning

Volterra-integralligningen (stavningen af Volterra-integralligningen [1] er også almindelig ) er en speciel type integralligninger . Foreslået af den italienske matematiker Vito Volterra og senere studeret af Traian Lalescu i Sur les equations de Volterra , skrevet i 1908 under ledelse af Émile Picard . I 1911 skrev Lalescu den første bog om integralligninger. Ligningerne bruges i demografi, studiet af viskoelastiske materialer, i forsikringsmatematik gennem recovery-ligningen.

Disse ligninger er opdelt i to typer.

Lineær Volterra-ligning af den første slags:

f(t)=\int _{a}^{t}K(t,s)\,x(s)\,ds

hvor er en given funktion og er en ukendt funktion. $f$ $x$

Lineær Volterra-ligning af den anden slags:

x(t)=f(t)+\int _{a}^{t}K(t,s)x(s)\,ds

I operatorteorien og i Fredholmteorien kaldes de tilsvarende ligninger for Volterra-operatoren .

Funktionen i integralet kaldes ofte for kernen . Sådanne ligninger kan analyseres og løses ved hjælp af Laplaces metode. $K$

Ligninger med en homogen kerne

Første slags

f(t)=\int _{0}^{t}K(ts)\,x(s)\,ds

Løsningen er baseret på Laplace-transformationen . Udførelse af Laplace-transformationen af begge sider af ligningen og betegne den med en tilde:

{\tilde {f}}(p)={\tilde {K}}(p){\tilde {x}}(p)

På denne måde

{\tilde {x}}(p)={\frac ({\tilde {f}}(p)}({\tilde {K}}(p)))

Hvis for funktioner har tendens til henholdsvis, så for store funktioner . Det betyder, at der er et -funktionelt bidrag at yde. Således ser løsningen ud $t\to 0$ $K(t),f(t)$ ${\displaystyle K_{0},f_{0))$ $s$ ${\tilde {x}}\to f_{0}/K_{0}$ $\delta$

x(t)={\frac {f_{0}}{K_{0}}}\delta (t)+\int _{ci\infty }^{c+i\infty }{\frac { dp}{2\pi i}}e^{pt}\left({\frac {{\tilde {f}}(p)}{{\tilde {K}}(t)))-{\frac { f_{0}}{K_{0}}}}\right)

Anden slags

f(t)=x(t)+\int _{a}^{t}K(ts)x(s)\,ds

Lignende ræsonnement fører til det faktum, at

{\tilde {x}}(p)={\frac ({\tilde {f}}(p)}{1+{\tilde {K}}(p)))

Her opstår sagen om usikkerhed ikke og

x(t)=\int _{ci\infty }^{c+i\infty }{\frac {dp}{2\pi i}}e^{pt}\left({\frac {{ \tilde {f}}(p)}{1+{\tilde {K}}(t)}}\right)

Noter

↑ Verzhbitsky M.V. Numeriske metoder (matematisk analyse og almindelige differentialligninger). Studievejledning . - Directmedia, 2014. - S. 351. - 400 s. — ISBN 9785445838760 .