Duhamel integral

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 28. april 2019; checks kræver 3 redigeringer .

Duhamel  -integralet er en speciel type integral, der bruges til at beregne lineære systemers respons på en inputhandling, der ændres vilkårligt over tid. Anvendeligheden af ​​dette integral er baseret på princippet om superposition for lineære systemer, hvor dets reaktion på summen af ​​flere påvirkninger, både samtidige og forskudte i tid, er lig med summen af ​​svarene fra hver af signalernes vilkår .

Det bruges til at beregne svarene fra lineære mekaniske systemer, lineære elektriske kredsløb osv.

Opkaldt efter Jean Marie Constant Duhamel , en fransk matematiker, der foreslog det for at beregne responsen af ​​mekaniske systemer.

Ideen med at anvende metoden er som følger. Indgangssignalet er repræsenteret som en sum (generelt uendelig) af nogle standardsignaler, for hvilke systemets respons , kaldet transientfunktionen , er kendt.

Denne metode bruger Heaviside step-funktionen som standard input . Systemets respons udtrykkes som et integral af produktet af den forsinkede og inputhandlingen ( funktionsfoldning ), som kaldes Duhamel-integralet.

Ved at kende systemets reaktion på påvirkningen i form af en Heaviside-funktion, beskrevet i en analytisk form eller opnået eksperimentelt, er det således muligt at forudsige (beregne) systemets reaktion på en vilkårlig inputpåvirkning.

Formler

For at bruge Duhamel-integralet er det nødvendigt først at beregne eller måle systemets overgangsfunktion , som er systemets reaktion på et trinvist enkelt indgangssignal (fig. 2).

Overgangsfunktionen, hvis den er ukendt, findes ved enhver tilgængelig metode (løsning af et system af differentialligninger, operatormetode ved måling osv.). For et lineært system kan overgangsfunktionen være en aperiodisk, oscillerende, dæmpet oscillerende proces eller en kombination af flere af disse processer. For eksempel for systemet i fig. 1 er overgangsfunktionen en aperiodisk proces vist i fig. 2 [1] .

Hvis systemets inputsignal er beskrevet af funktionen , hvor  er en uafhængig variabel, udtrykkes systemets reaktion på dette signal med formlen, hvor er den tidsafledede af inputhandlingen:

Hvis inputsignalet er sammensat, og funktionen oplever diskontinuiteter (tidspunkter , i fig. 3), så er ovenstående formel kun gyldig på intervallet [0, ]:

Reaktionen på de resterende intervaller beregnes ved hjælp af formlerne efter superpositionsprincippet:

De sidste formler betyder, at:

Et eksempel på anvendelse af Duhamel-integralet til at løse

For det lineære kredsløb fig. 1 finder vi strømmen gennem kondensatoren under påvirkning af det komplekse indgangssignal vist i fig. 3.

Beregning af overgangsfunktionen

For at finde formen på overgangsfunktionen finder vi løsninger til den karakteristiske ligning

hvor er indgangsimpedansen for systemet  skrevet i operatørformen fra siden af ​​signalkilden,  er en kompleks variabel .

Den karakteristiske ligning har én reel løsning, derfor er overgangsfunktionen en eksponent :

Hvis vi antager, at kondensatoren er afladet på tidspunktet for tiden , får vi

Beregning af et systems respons på et komplekst signal

Beregningsintervaller
Signal Interval
Signalrepræsentation

Vi repræsenterer et komplekst indgangssignal som en stykkevis funktion på tre tidsintervaller angivet i tabellen.

Løsning

Løsningen søges stykkevis, for hvert tidsinterval, i formlerne

Links

Noter

  1. Neiman L. R., Demirchyan K. S. Teoretisk grundlag for elektroteknik: i 2 bind Lærebog for universiteter. Bind I. - 3. udg., revideret. og yderligere - L .: Energoizdat. Leningrad. afdeling, 1981. - 536 s., ill.

Se også

Laplace transformation