Lukning (topologi)

En lukning er en konstruktion, der giver det mindste lukkede sæt, der indeholder et givet sæt af et topologisk rum .

Lukningen af et sæt betegnes normalt Anden notation: $S$ $\bar S.$ $\operatørnavn {cl} (S),\operatørnavn {Cl} (S).$

Definitioner

De følgende to definitioner er ækvivalente.

Lade være en delmængde af et topologisk rum. Lukningen i er skæringspunktet mellem alle lukkede sæt, der indeholder $S$ $x.$ $S$ $x$ $S.$

Kommentar. Da skæringspunktet mellem en vilkårlig familie af lukkede sæt er lukket, er lukningen altid lukket.

Et punkt i et topologisk rum kaldes et kontaktpunkt for et sæt, hvis et kvarter indeholder mindst et punkt i mængden $x$ $x$ $S,$ $x$ $S.$

Sættet af alle kontaktpunkter kaldes en lukning $S$ $S.$

Sættets lukning er lukket.
Lukningen af et sæt indeholder selve sættet, dvs. $S\subseteq {\bar {S)).$
Lukningen af et sæt indeholder alle dets grænsepunkter .
Et sæt er lukket, hvis og kun hvis det falder sammen med dets lukning, dvs $S=\bar{S}.$
Idempotensegenskab : gentagen anvendelse af lukkeoperationen ændrer ikke resultatet (som umiddelbart følger af egenskab 1 og 4) : $\bar{\bar{S}}=\bar{S}.$
Lukningen bevarer redeforholdet, dvs. $(S\subset T)\Rightarrow(\bar{S}\subset\bar{T}).$
Lukningen af en fagforening er sammenslutningen af lukninger, dvs. $\overline{S\kop T}=\bar{S}\kop\bar{T}.$
En vejkryds lukning er en delmængde af krydset af lukninger, dvs. $\overline{S\cap T}\subset\bar{S}\cap\bar{T}.$

I alle eksemplerne nedenfor er det topologiske rum den reelle linje med standardtopologien defineret på den. $\mathbb {R}$