Problem med stribedækning

Problemet med stribedækning er et klassisk problem inden for kombinatorisk geometri . I det enkleste tilfælde lyder det sådan:

Bevis, at en cirkel med diameter ikke kan dækkes af strimler med en samlet bredde mindre end .

d

d

Stribedækningsproblemet er kendt som et eksempel på et problem, hvor det er bekvemt at gå over til højere dimensioner, når man løser det.

Om bevis

I den tredimensionelle version af problemet tages der i stedet for strimler områder mellem parallelle planer. Løsningen af denne version af problemet følger let af det faktum, at området af den laterale overflade af det sfæriske lag kun afhænger af dets højde. Især en kugle kan ikke dækkes med lag med en samlet tykkelse mindre end kuglens diameter, hvilket betyder at en kugle heller ikke kan.

Det todimensionelle tilfælde følger umiddelbart af denne observation. Denne løsning blev foreslået af Hugo Steinhaus .

Variationer og generaliseringer

I 1932 antog Tarski , at hvis en konveks figur kan dækkes med striber med en samlet bredde på 1, så kan den dækkes med en enkelt strimmel med bredde 1. Töger Bang modtog et bekræftende svar i 1951. [en]

Følgende version af problemet om den relative bredde af striberne blev foreslået af Bang:

Antag, at en konveks krop er dækket af et begrænset antal strimler med bredder , og der er bredder i de tilsvarende retninger. Bevis det

K

{\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n))

v_{1},\dots ,v_{n}

K

{\frac {w_{1}}{v_{1}}}+\dots +{\frac {w_{n}}{v_{n}}}\geq 1.

Se også

Monges sætning er et andet klassisk eksempel på et udsagn, i hvis bevis det er nyttigt at øge rummets dimension.

Noter

↑ King, Jonathan L. Tre problemer på jagt efter en målestok // Amer . Matematik. Månedlig : dagbog. - 1994. - Bd. 101 . - s. 609-628 . - doi : 10.2307/2974690 .

Litteratur

I. M. Yaglom. T. Bang - V. Fennikel. Løsning af et problem med at dække konvekse figurer // Matem. oplysning, ser. 2. - 1957. - Nr. 1 . - S. 214-218 . (Russisk)
R.Alexander. Et problem om linjer og ovaler // The American Mathematical Monthly. - 1968. - Bd. 75 , nr. 5 . - S. 482-487 .
Bezdek, Karoly. Tarskis plankeproblem genbesøgt // Geometri - intuitiv, diskret og konveks. - 2013. - S. 45-64 .
Gardner, Richard. Relative breddemål og plankeproblemet // Pacific Journal of Mathematics. - 1988. - Bd. 135 , nr. 2 . - S. 299-312 .
Bang, Thøger (1950), Om dækning af parallel-striber., Mat. Tidsskr. B .: 49-53
Bang, Thøger (1951), En løsning af "plankeproblemet" , Proc. amer. Matematik. soc. bind 2 (6): 990–993, doi : 10.2307 / 2031721 ,