Riemann-problemet om forfaldet af en vilkårlig diskontinuitet

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 27. marts 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Riemann-problemet med henfaldet af en vilkårlig diskontinuitet er problemet med at konstruere en analytisk løsning på kontinuummekanikkens ikke-stationære ligninger , som anvendt på henfaldet af en vilkårlig diskontinuitet [1] . Fuldstændig løst i en begrænset kreds af specielle tilfælde - for ligningerne for gasdynamik af en ideel gas og nogle mere nøjagtige tilnærmelser (den såkaldte gas med en to-term tilstandsligning ) og ligninger af teorien om lavt vand . Løsningen til ligningerne for magnetisk gasdynamik kan tilsyneladende konstrueres op til behovet for en numerisk løsning af en ret kompliceret almindelig differentialligning.

Iscenesættelse

Det endimensionelle problem med diskontinuitetsdesintegration er ved at blive løst - det vil sige, det antages, at før det første tidspunkt af tid, to områder af rummet med forskellige værdier af termodynamiske parametre (for gasdynamik er dette tætheden, hastigheden, og gastrykket) blev adskilt af en tynd skillevæg, og i det indledende tidspunkt fjernes skillevæggen. Det er nødvendigt at konstruere en løsning (det vil sige afhængigheden af alle termodynamiske parametre på tid og koordinater) for vilkårlige begyndelsesværdier af variablerne. $t=0$

Løsningen på problemet med henfaldet af en vilkårlig diskontinuitet er at bestemme den gasdynamiske strømning, der opstår ved . Med andre ord taler vi om at løse Cauchy-problemet for gasdynamikkens ligninger , hvor startbetingelserne er givet i form af en vilkårlig diskontinuitet beskrevet ovenfor. $t>0$

Løsning

Det viser sig, at for ligningssystemer skrevet i divergerende form, vil løsningen være sig selv-lignende .

Løsningen søges i form af et sæt elementære bølger, bestemt af strukturen af ligningssystemet. Især for gasdynamik er disse: chokbølge , sjældenhedsbølge , kontaktdiskontinuitet . Lad os præsentere løsningen i eksplicit form for det særlige tilfælde af en ideel gas i hvile med adiabatisk eksponent . Lad i det indledende øjeblik trykket , massefylden og hastigheden have formen: $\gamma$ $P$ $\rho$ $v$

	$x<0$	$x>0$
$v(x)$	$0$	$0$
$\rho (x)$	$\rho _{L}$	$\rho _{R}$
$P(x)$	$P_{L}$	$P_{R}$

og - bølgen går til højre. Så på et vilkårligt tidspunkt har løsningen formen $P_{L}>P_{R}$ $t$

	$x<-c_{L}t$	$-c_{L}t<x<(v_{2}-c_{2})t$	$(v_{2}-c_{2})t<x<v_{2}t$	$v_{2}t<x<Dt$	$x>dt$
	uforstyrret stof	sjældenhedsbølge	Område mellem sjældne bølgefront og kontaktdiskontinuitet	Området mellem kontaktdiskontinuiteten og stødbølgefronten	uforstyrret stof
$v(x)$	$0$	$\displaystyle v_{2}{\frac {x+c_{L}t}{(v_{2}-c_{2}+c_{L})t))$	$v_{2}$	$v_{2}$	$0$
$\rho (x)$	$\rho _{L}$	$\displaystyle \rho _{L}\left(1-{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {v(x)}{c_{L}}}\right)^{ \frac {2}{\gamma -1}}$	$\rho _{2}$	$\rho_{1}$	$\rho _{R}$
$P(x)$	$P_{L}$	$\displaystyle P_{L}\left(1-{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {v(x)}{c_{L}}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}$	$P_2$	$P_2$	$P_{R}$

Her er lydhastigheden i det uforstyrrede medium til venstre, , , , er gasparametrene og lydhastigheden mellem stødbølgefronten og kontaktdiskontinuiteten, , , er gasparametrene mellem kontaktdiskontinuiteten og stødbølgen, og er chokbølgehastigheden. Disse fem parametre bestemmes ud fra et ikke-lineært ligningssystem, der svarer til lovene om bevarelse af energi, masse og momentum: ${\displaystyle c_{L}={\sqrt {\gamma P_{L}/\rho _{L))))$ $v_{2}$ $P_2$ $\rho _{2}$ ${\displaystyle c_{2}={\sqrt {\gamma P_{2}/\rho _{2))))$ $v_{2}$ $P_2$ $\rho_{1}$ $D$

{\displaystyle \displaystyle \rho _{1}=\rho _{R}{\frac {D}{D-v_{2))))

\displaystyle D={\frac {P_{2}-P_{R}}{\rho _{R}v_{2}}}

\displaystyle P_{2}=P_{R}{\frac {(\gamma +1)\rho _{1}-(\gamma -1)\rho _{R}}{(\gamma +1 )\rho _{R}-(\gamma -1)\rho _{1}}}

\displaystyle {\frac {P_{L}}{\rho _{L}^{\gamma }}}={\frac {P_{2}}{\rho _{2}^{\gamma } }}

\displaystyle v_{2}={\frac {2}{\gamma -1}}\left(c_{L}-c_{2}\right)={\frac {2c_{L}}{\ gamma -1))\left(1-\left({\frac {\rho _{2)){\rho _{L))}\right)^{\frac {\gamma -1}{2)) \ret)

De første tre ligninger svarer her til Hugoniot-relationerne for en ideel gas [2] , den fjerde og femte - til relationerne i sjældenhedsbølgen [3] .

Ansøgning

Løsningen af Riemann-problemet finder anvendelse i numeriske metoder til løsning af ikke-stationære problemer med store diskontinuiteter. Det er på løsningen (nøjagtig eller omtrentlig) af Riemann-problemet med diskontinuitetsforfald, at Godunov-metoden til løsning af systemer af ikke-stationære ligninger af kontinuummekanik er baseret.

Noter

↑ Riemann, Bernard. über die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite (Deutsch) // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen. - 1860. - T. 8 . - S. 43-66 . Arkiveret fra originalen den 24. juli 2020.
↑ Zeldovich Ya. B., Raiser Yu. P. Fysik af stødbølger og hydrodynamiske fænomener ved høje temperaturer. - Moskva: Nauka , 1966. - S. 51. - 688 s.
↑ Zeldovich Ya. B., Raiser Yu. P. Fysik af stødbølger og hydrodynamiske fænomener ved høje temperaturer. - Moskva: Nauka , 1966. - S. 41. - 688 s.