Lang række

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 26. juni 2016; verifikation kræver 41 redigeringer .

Lang linje - en transmissionslinjemodel , hvis længdestørrelse (længde) overstiger bølgelængden , der udbreder sig i den (eller er sammenlignelig med bølgelængden), og de tværgående dimensioner (for eksempel afstanden mellem lederne, der danner linjen) er meget mindre end bølgelængden.

Fra teorien om elektriske kredsløb refererer en lang linje til quadripoler . Et karakteristisk træk ved en lang linje er manifestationen af interferensen af to bølger, der udbreder sig mod hinanden. En af disse bølger skabes af en elektromagnetisk oscillationsgenerator, der er forbundet til ledningens input og kaldes indfaldende . Den anden bølge kaldes reflekteret og opstår på grund af den delvise refleksion af den indfaldende bølge fra belastningen forbundet til udgangen (modsatte ende af generatoren) af ledningen. Hele rækken af oscillerende og bølgeprocesser, der forekommer i en lang linje, bestemmes af forholdet mellem amplituderne og faserne af de indfaldende og reflekterede bølger. Analysen af processer forenkles, hvis den lange linje er regulær , det vil sige en, hvor påfyldningsmediets tværsnit og elektromagnetiske egenskaber (ε r , μ r , σ) er uændrede i længderetningen [1] .

Lange linjers differentialligninger

Primære parametre

Det er kendt fra elektrodynamik, at en transmissionslinje kan karakteriseres ved sine lineære parametre :

R 1 - lineær modstand af ledningernes metal, Ohm / m ;
G 1 - parasitisk, parallel ( kilde til udtrykket ) lineær (langsgående, additiv) ledningsevne af linjens dielektriske, 1 / Ohm m eller Sm / m; , - lineær langs linjen, vinkelret på lækstrømmene gennem dielektrikumet, i modsætning til g [Cm m] - lineær ledningsevne, reduceret til en enhedslængde af den parasitiske strøm, der strømmer gennem ledningens dielektrikum (tværlineær ledningsevne på ledningsisolatoren)!
L 1 - lineær induktans H/m ;
C 1 - lineær kapacitet F/m ;
$Z_{1}=R_{1}+i\omega L_{1}$
$Y_{1}=G_{1}+i\omega C_{1}$

Lineær modstand og ledningsevne G 1 afhænger af ledningsevnen af materialet i ledningerne og kvaliteten af det dielektriske, der omgiver disse ledninger, henholdsvis. Ifølge Joule-Lenz-loven , jo lavere varmetab i ledningernes metal og i dielektrikumet, jo lavere er den lineære modstand af metallet R 1 og jo lavere er den lineære ledningsevne af dielektrisket G 1 . (Et fald i aktive tab i et dielektrikum betyder en stigning i dets modstand, da aktive tab i et dielektrikum er lækstrømme. For modellen bruges den omvendte værdi - længdeenheden G 1 .)

Lineær induktans L 1 og kapacitans C 1 bestemmes af formen og størrelsen af ledningernes tværsnit, samt afstanden mellem dem.

A og - lineær kompleks modstand og ledningsevne af linjen, afhængigt af frekvensen . $Z_{1}$ $Y_{1}$ $\omega$

Lad os fra linjen vælge et elementært afsnit med uendeligt lille længde dz og betragte dets ækvivalente kredsløb.

Ækvivalent kredsløb af en sektion af en lang linje

Værdierne af kredsløbsparametrene bestemmes af relationerne:

{\begin{cases}dR=R_{1}dz;\\dG=G_{1}dz;\\dL=L_{1}dz;\\dC=C_{1}dz;\\\ slut{cases}}

(en)

Ved hjælp af det ækvivalente kredsløb skriver vi udtrykkene for spændings- og strømstigningerne:

{\begin{cases}dU=-I(dR+i\omega dL)\\dI=-U(dG+i\omega dC)\\\end{cases))

Ved at erstatte værdierne af kredsløbsparametrene fra (1) får vi:

{\begin{cases}dU=-IZ_{1}dz\\dI=-UY_{1}dz\\\end{cases))

Fra de sidste relationer finder vi linjens differentialligninger. Disse ligninger bestemmer forholdet mellem strøm og spænding i enhver sektion af linjen og kaldes langlinjetelegrafligninger :

Telegrafligninger

{\begin{cases}{\frac {dU}{dz}}=-IZ_{1}\\{\frac {dI}{dz}}=-UY_{1}\\\end{cases} }

(2)

Konsekvenser

Lad os løse telegrafligningerne for spænding og strøm. For at gøre dette differentierer vi dem med hensyn til z :

{\begin{cases}{\frac {d^{2}U}{dz^{2}}}=-{\frac {dI}{dz}}Z_{1}\\{\frac { d^{2}I}{dz^{2}}}=-{\frac {dU}{dz}}Y_{1}\\\end{cases}}

(3)

I dette tilfælde tager vi hensyn til betingelsen om linjens regelmæssighed:

Linjeregularitetstilstand

{\begin{cases}{\frac {dZ_{1}}{dz}}=0\\{\frac {dY_{1}}{dz}}=0\\\end{cases}}

(fire)

Disse forhold er den matematiske definition af regelmæssigheden af en lang linje. Betydningen af relation (4) er invariansen langs linjen af dens lineære parametre.

Ved at erstatte værdierne af spændings- og strømafledte i (3) fra (2) får vi efter transformationer:

Homogene langlinjebølgeligninger

{\begin{cases}{\frac {d^{2}U}{dz^{2}}}-\gamma ^{2}U=0\\{\frac {d^{2}I}{dz ^{2}}}-\gamma ^{2}I=0\\\end{cases}}

(5)

hvor er bølgeudbredelseskoefficienten i linjen. $\gamma ={\sqrt {Z_{1}Y_{1}}}$

Relationer (5) kaldes homogene bølgeligninger af en lang linje . Deres løsninger er kendte og kan skrives som:

{\begin{cases}U=B_{U}e^{{\gamma z}}+A_{U}e^{{-\gamma z}}\\I=B_{I}e^{{\gamma z}}+A_{I}e^{{-\gamma z}}\\\end{cases}}

(6)

hvor A U , B U og A I , B I er koefficienter med henholdsvis spændings- og strømenheder, hvis betydning vil være klar nedenfor.

Løsningerne af bølgeligningerne i form (6) har en meget karakteristisk form: det første led i disse løsninger er en reflekteret spænding eller strømbølge, der udbreder sig fra belastningen til generatoren, det andet led er en indfaldende bølge, der udbreder sig fra generatoren til læsset. Således er koefficienterne A U , A I de komplekse amplituder af henholdsvis de indfaldende spændings- og strømbølger, og koefficienterne B U , B I er de komplekse amplituder af henholdsvis de reflekterede spændings- og strømbølger. Da en del af den effekt, der transmitteres langs linjen, kan absorberes i belastningen, bør amplituderne af de reflekterede bølger ikke overstige amplituderne af de indfaldende:

|B_{U}|\leqslant |A_{U}|

|B_{I}|\leqslant |A_{I}|

Bølgeudbredelsesretningen i (6) bestemmes af tegnet i form af eksponenter: plus - bølgen forplanter sig i negativ retning af z -aksen ; minus - i positiv retning af z -aksen (se fig. 1). Så for eksempel for indfaldende spænding og strømbølger kan vi skrive:

{\begin{cases}U_{\Pi }=A_{U}e^{{-\gamma z}}\\I_{\Pi }=A_{I}e^{{-\gamma z}}\\ \end{sager}}

(7)

Bølgeudbredelseskoefficienten i linjen γ i det generelle tilfælde er en kompleks størrelse og kan repræsenteres som:

\gamma ={\sqrt {Z_{1}Y_{1}}}={\sqrt {(R_{1}+i\omega L_{1})(G_{1}+i\omega C_{1}) }}=\alpha +i\beta

(otte)

hvor α er bølgedæmpningsfaktoren [2] i linjen; β er fasefaktoren [3] . Så kan relation (7) omskrives som:

{\begin{cases}U_{\Pi }=A_{U}e^{{-\alpha z}}e^{{-i\beta z}}\\I_{\Pi }=A_{I}e ^{{-\alpha z}}e^{{-i\beta z}}\\\end{cases}}

(9)

Da når den indfaldende bølge forplanter sig til bølgelængden i linjen λ L , ændres bølgens fase med 2 π , så kan fasekoefficienten relateres til bølgelængden λ L ved relationen

\beta ={\frac {2\pi }{\lambda _{\Lambda ))}

(ti)

I dette tilfælde bestemmes fasehastigheden af bølgen i linjen V Ф gennem fasekoefficienten:

V_{\Phi }={\frac {\omega }{\beta ))

(elleve)

Lad os bestemme koefficienterne A og B , inkluderet i løsningerne (6) af bølgeligningerne, gennem værdierne af spændingen U Н og strøm I Н på belastningen. Dette er berettiget, da spændingen og strømmen på belastningen næsten altid kan måles ved hjælp af måleinstrumenter. Lad os bruge den første telegrafligning (2) og erstatte spændingen og strømmen fra (6) i den. Så får vi:

A_{U}\gamma e^{-\gamma z}-B_{U}\gamma e^{\gamma z}=Z_{1}(A_{I}e^{-\gamma z}+ B_{I}e^{\gamma z})

Ved at sammenligne koefficienterne ved eksponenter med de samme eksponenter får vi:

${\begin{cases}A_{I}={\frac {A_{U}}{W}}\\B_{I}=-{\frac {B_{U}}{W}}\\\end{ sager}}$ ,

(12)

hvor er linjeimpedansen [4] . $W={\sqrt {{\frac {Z_{1}}{Y_{1}}}}}$

Lad os omskrive (6) under hensyntagen til (12):

${\begin{cases}U=A_{U}e^{-\gamma z}+B_{U}e^{\gamma z}\\I={\frac {-A_{U}e^ {-\gamma z}+B_{U}e^{\gamma z}}{W}}\\\end{cases}}$ .

(13)

For at bestemme koefficienterne A og B i disse ligninger bruger vi betingelserne i begyndelsen af linjen z = 0 :

{\begin{cases}U(z=0)=U_{H}\\I(z=0)=I_{H}\\\end{cases))

Så finder vi fra (13) for z = 0

${\begin{cases}A_{U}={\tfrac {1}{2}}(U_{H}+I_{H}W)\\B_{U}={\tfrac {1}{2}} (U_{H}-I_{H}W)\\\end{cases}}$ ,

(fjorten)

Ved at erstatte de opnåede værdier af koefficienterne fra (14) til (13), efter transformationer, opnår vi:

${\begin{cases}U=U_{H}\operatørnavn {ch}(\gamma z)+I_{H}W\operatørnavn {sh}(\gamma z)\\I=I_{H}\operatørnavn {ch }(\gamma z)+{\frac {U_{H}}{W}}\operatørnavn {sh}(\gamma z)\\\end{cases}}$ .

(femten)

Ved afledning (15) tages der hensyn til definitionerne af hyperbolsk sinus og cosinus [5] .

Relationer for spænding og strøm (15) samt (6) er løsninger af homogene bølgeligninger. Deres forskel ligger i det faktum, at spændingen og strømmen i linjen i forhold (6) bestemmes gennem amplituderne af de indfaldende og reflekterede bølger, og i (15) - gennem spændingen og strømmen ved belastningen.

Lad os overveje det enkleste tilfælde, når spændingen og strømmen i linjen kun bestemmes af den indfaldende bølge, og der ikke er nogen reflekteret bølge [6] . Så i (6) skal man sætte B U = 0 , B I = 0 :

{\begin{cases}U=A_{U}e^{{-\alpha z}}e^{{-i\beta z}}\\I=A_{I}e^{{-\alpha z} }e^{{-i\beta z}}\\\end{cases}}

Hændelsesbølgefeltfordeling

I fig.3. plots af ændringer i amplitude er præsenteret | U | og fase φ U spænding langs linjen. Plots af ændringer i strømmens amplitude og fase har samme form. Det følger af betragtningen af diagrammerne, at hvis der ikke er nogen tab i ledningen ( α [2] = 0 ), forbliver spændingsamplituden i enhver sektion af ledningen den samme. Hvis der er tab i ledningen ( α [2] > 0 ), omdannes en del af den overførte effekt til varme (opvarmning af ledningstrådene og dielektrikumet omkring dem). Af denne grund falder spændingsamplituden af den indfaldende bølge eksponentielt i udbredelsesretningen.

Spændingsfasen af den indfaldende bølge φ U = β z varierer lineært og falder med afstanden fra generatoren.

Overvej ændringen i amplitude og fase, for eksempel spænding ved tilstedeværelse af indfaldende og reflekterede bølger. For nemheds skyld antager vi, at der ikke er nogen tab i linjen, det vil sige α [2] = 0 . Så kan spændingen i linjen repræsenteres som:

U=A_{U}e^{-i\beta z}+B_{U}e^{i\beta z}=A_{U}(e^{-i\beta z}+\Gamma e ^{i\beta z})

(16)

hvor er den komplekse spændingsreflektionskoefficient . $\Gamma =B_{U}/A_{U}$

Kompleks spændingsreflektionskoefficient

Det karakteriserer graden af koordinering af transmissionslinjen med belastningen. Refleksionskoefficientmodulet varierer inden for: $0\leqslant |\Gamma |\leqslant 1$

| G | = 0 hvis der ikke er refleksioner fra belastningen og B U = 0 [6] ;
| G | = 1 hvis bølgen reflekteres fuldstændigt fra belastningen, dvs. $|A_{U}|=|B_{U}|$

Relation (16) er summen af hændelsen og reflekterede bølger.

Lad os vise spændingen på det komplekse plan som et vektordiagram, hvor hver af vektorerne bestemmer de indfaldende, reflekterede bølger og den resulterende spænding (fig. 4). Det kan ses af diagrammet, at der er sådanne tværsnit af linjen, hvor de indfaldende og reflekterede bølger tilføjes i fase. Spændingen i disse sektioner når et maksimum, hvis værdi er lig med summen af amplituderne af de indfaldende og reflekterede bølger:

U_{max}=|A_{U}|+|B_{U}|

Derudover er der linjetværsnit, hvor de indfaldende og reflekterede bølger tilføjes i modfase. I dette tilfælde når spændingen et minimum:

U_{min}=|A_{U}|-|B_{U}|

Hvis ledningen er belastet med modstand, for hvilken | G | = 1 , dvs. amplituderne af de indfaldende og reflekterede bølger er | B U | = | U | _ , så i dette tilfælde U max = 2| U | _ og U min = 0 .

Spændingen i en sådan linje varierer fra nul til det dobbelte af den indfaldende bølges amplitude. På fig. Figur 5 viser diagrammer over ændringen i amplitude og fase af spændingen langs linjen i nærvær af en reflekteret bølge.

Rejsende og stående bølgekoefficienter

I henhold til spændingsdiagrammet bedømmes graden af tilpasning af ledningen med belastningen. Til dette introduceres begreberne for koefficienten for den vandrende bølge - k BV og koefficienten for den stående bølge k SW :

$k_{{bv}}={\frac {U_{{min}}}{U_{{max}}}}={\frac {\|A_{U}\|-\|B_{U}\|}{\|A_{ U}\|+\|B_{U}\|}}={\frac {1-\|\Gamma \|}{1+\|\Gamma \|}}$	(17)
$k_{{sv}}={\frac {1}{k_{{bv}}}}$	(atten)

Disse koefficienter, at dømme efter definitionen, varierer inden for:

0\leqslant k_{bv}\leqslant 1

1\leqslant k_{sv}\leqslant \infty

I praksis bruges begrebet stående bølgekoefficient oftest, da moderne måleinstrumenter (panoramamålere k SW ) på indikatorenheder viser ændringen i denne værdi i et bestemt frekvensbånd.

Lang linje indgangsimpedans

Linjeindgangsimpedansen er en vigtig karakteristik, som er defineret i hver sektion af linjen som forholdet mellem spænding og strøm i dette afsnit:

$Z_{BX}=R_{BX}+iX_{BX}$
$Z_{BX}(z)={\frac {U(z)}{I(z)))$	(19)

Da spændingen og strømmen i ledningen ændres fra sektion til sektion, ændres ledningens indgangsmodstand også i forhold til dens langsgående koordinat z . Samtidig taler de om linjens transformerende egenskaber, og selve linjen betragtes som en modstandstransformator. Linjens egenskab til at transformere modstand vil blive diskuteret mere detaljeret nedenfor.

Lang linje driftstilstande

Der er tre driftstilstande for linjen:

rejsebølgetilstand; [7]
stående bølgetilstand; [7]
blandet bølgetilstand.

Rejsebølgetilstand

Vandrende bølgetilstand er karakteriseret ved tilstedeværelsen af kun en indfaldende bølge, der udbreder sig fra generatoren til belastningen. Den reflekterede bølge er fraværende. Den effekt, der bæres af den indfaldende bølge, spredes fuldstændigt i belastningen. I denne tilstand B U = 0 , | G | = 0, k sv = k bv = 1 [7] .

Standing wave mode

Den stående bølgetilstand er kendetegnet ved, at amplituden af den reflekterede bølge er lig med amplituden af den indfaldende bølge B U = AU , det vil sige, at energien af den indfaldende bølge reflekteres fuldstændigt fra belastningen og returneres tilbage til generator. I denne tilstand, | G | = 1 , k sv = $\infty$ , k bv = 0 [7] .

Mixed Wave Mode

I blandet bølgetilstand opfylder amplituden af den reflekterede bølge betingelsen 0 < B U < AU , det vil sige, at en del af effekten af den indfaldende bølge går tabt i belastningen, og resten i form af en reflekteret bølge vender tilbage til generatoren. I dette tilfælde er 0 < | G | < 1 , 1 < k sv < $\infty$ , 0 < k bv < 1

Tabsfri linje

I en tabsfri linje er de lineære parametre R 1 = 0 og G 1 = 0 . Derfor får vi for udbredelseskoefficienten γ og bølgemodstanden W :

\gamma ={\sqrt {Z_{1}Y_{1}}}={\sqrt {(R_{1}+i\omega L_{1})(G_{1}+i\omega C_{1}) }}=i\omega {\sqrt {L_{1}C_{1}}}

;

\alpha =0;~~\beta =\omega {\sqrt {L_{1}C_{1}}};~~W={\sqrt {{\frac {Z_{1}}{Y_{1}} ))}={\sqrt {{\frac {L_{1}}{C_{1}}}}}

(tyve)

Under hensyntagen til dette udtryk for spænding og strøm (15), vil de have formen:

{\begin{matrix}U=U_{H}\cos(\beta z)&+&iI_{H}W\sin(\beta z)\\I=I_{H}\cos(\beta z)&+ &i{\tfrac {U_{H}}{W}}\sin(\beta z)\end{matrix}}

(21)

Når man udleder disse relationer, tages der hensyn til funktionerne [8] ved hyperbolske funktioner [5] .

Lad os overveje specifikke eksempler på linjedrift uden tab for de enkleste belastninger.

Åben linje

I dette tilfælde er strømmen, der strømmer gennem belastningen, nul ( I H = 0) , så udtrykkene for spænding, strøm og indgangsmodstand i linjen har formen:

U=U_{H}\cos(\beta z);\quad I=i{\frac {U_{H}}{W}}\sin(\beta z)

Z_{{BX}}={\frac {U}{I}}=-iW\operatørnavn {ctg}(\beta z)=iX_{{BX}}

\beta ={\frac {2\pi }{\lambda ))

(22)

Figur 6 illustrerer disse afhængigheder grafisk. Fra relationer (22) og grafer følger:

i en linje, der er åben for enden, etableres en stående bølgetilstand, spænding, strøm og indgangsmodstand langs linjen ændres i henhold til en periodisk lov med en periode λ L /2 ;
indgangsimpedansen for en åben linje er rent imaginær bortset fra punkterne med koordinaterne z = nλ L /4 , n = 0,1,2,… ;
hvis længden af den åbne linje er mindre end λ L /4 , så svarer en sådan linje til en kapacitans;
en linje åben ved enden af længden λ L /4 svarer til et serieresonanskredsløb ved den betragtede frekvens og har nul inputmodstand;
en linje, hvis længde ligger i området fra λ L /4 til λ L /2 er ækvivalent med induktans;
en linje med længden λ L /2 åben i enden svarer til et parallelt resonanskredsløb ved den betragtede frekvens og har en uendelig stor indgangsmodstand.

Lukket linje

I dette tilfælde er spændingen ved belastningen nul ( U H = 0) , så spændingen, strømmen og indgangsmodstanden i linjen har formen:

U=iI_{H}W\sin(\beta z);\quad I=I_{H}\cos(\beta z)

Z_{{BX}}={\frac {U}{I}}=iW\operatørnavn {tg}(\beta z)=iX_{{BX}}

(23)

Figur 7 illustrerer disse afhængigheder grafisk.

Ved at bruge resultaterne fra det foregående afsnit er det ikke vanskeligt selvstændigt at drage konklusioner om transformationsegenskaberne for en kortsluttet linje. Vi bemærker kun, at det stående bølgeregime også er etableret i en lukket linje. Et segment af en kortsluttet linje med en længde mindre end λ L /4 har en induktiv karakter af indgangsmodstanden, og med en længde på λ L /4 har en sådan linje en uendelig stor indgangsmodstand ved driftsfrekvensen [9 ] .

Kapacitiv belastning

Som det følger af analysen af driften af en åben linje, kan hver kapacitans C ved en given frekvens ω associeres med et åbent linjesegment med en længde mindre end λ L /4 . Kapacitans C har en kapacitans . Lad os sidestille værdien af denne modstand med indgangsmodstanden for en åben linje med længden l < λ L /4 : $iX_{C}=-{\tfrac {i}{\omega C))$

-{\tfrac {i}{\omega C}}=-iW\operatørnavn {ctg}(\beta l)

Herfra finder vi linjelængden svarende til indgangsmodstanden for kapacitansen C :

l={\tfrac {1}{\beta }}\operatørnavn {arctg}(\omega CW)

Ved at kende diagrammerne for spænding, strøm og indgangsmodstand for en åben linje, genopretter vi dem til en linje, der opererer på kapacitans (fig. 8). Det følger af diagrammerne, at den stående bølgetilstand er indstillet i den kapacitive linje.

Når kapacitansen ændres, skifter plottene langs z- aksen . Især når kapacitansen stiger, falder kapacitansen, spændingen over kapacitansen falder, og alle diagrammer skifter til højre og nærmer sig diagrammerne svarende til den kortsluttede linje. Når kapacitansen falder, flyttes diagrammerne til venstre og nærmer sig diagrammerne svarende til den åbne linje.

Induktiv belastning

Som det følger af analysen af driften af en lukket linje, kan hver induktans L ved en given frekvens ω associeres med et segment af en lukket linje med en længde mindre end λ L /4 . Induktansen L har en induktiv reaktans iX L \ u003d iωL . Lad os sidestille denne modstand med indgangsmodstanden for en lukket linje med længden λ L /4 :

i\omega L=iW\operatørnavn {tg} (\beta l)

Herfra finder vi længden af linjen l , ækvivalent med hensyn til indgangsmodstand af induktansen L :

l={\tfrac {1}{\beta }}\operatørnavn {arctg} (\omega {\tfrac {L}{W)))

Ved at kende diagrammerne for spænding, strøm og indgangsmodstand af linjen lukket i slutningen, genopretter vi dem for linjen, der opererer på induktansen (fig. 9). Af diagrammerne følger det, at i linjen, der opererer på induktansen, er den stående bølgetilstand også etableret. Ændring af induktansen fører til en forskydning af plottene langs z- aksen . Ydermere, med en stigning i L , skifter diagrammerne til højre, når de nærmer sig tomgangsdiagrammerne, og med et fald i L , bevæger de sig til venstre langs z - aksen , og tenderer til kortslutningsdiagrammerne.

Aktiv indlæsning

I dette tilfælde er strømmen og spændingen ved belastningen R H relateret af relationen U H = I H R H [10] . Udtryk for spænding og strøm i ledningen (21) har formen:

U=U_{H}\cos(\beta z)+iU_{H}{\tfrac {W}{R_{H))}\sin(\beta z)

I=I_{H}\cos(\beta z)+iI_{H}{\tfrac {R_{H}}{W}}\sin(\beta z)