Quadripol

En firepolet er et elektrisk kredsløb, en slags multipol med fire tilslutningspunkter [1] . Som regel er to punkter indgangen, de to andre er udgangen.

Generel information

Når man analyserer elektriske kredsløb, er det meget ofte praktisk at isolere et kredsløbsfragment, der har to par klemmer. Da elektriske (elektroniske) kredsløb meget ofte er forbundet med overførsel af energi eller behandling og transformation af information, kaldes et par klemmer normalt "input", og det andet - "output". Det originale signal føres til indgangsterminalerne, det konverterede signal tages fra udgangsterminalerne.

Sådanne fire-terminal-netværk er for eksempel transformatorer, forstærkere, filtre, spændingsstabilisatorer, telefonlinjer, elledninger mv.

Den matematiske teori om quadripoler indebærer dog ikke nogen forudbestemte energi/informationsstrømme i kredsløb, derfor er navnene "input" og "output" en hyldest til traditionen og vil blive brugt videre med dette forbehold.

Indgangs- og udgangsterminalernes tilstande bestemmes af fire parametre: spænding og strøm i input- ( U 1 , I 1 ) og output- ( U 2 , I 2 ) kredsløb. I dette system af parametre er et lineært fireterminalt netværk beskrevet af et system af to lineære ligninger, hvor to af de fire tilstandsparametre er initiale, og de to andre bestemmes. For ikke-lineære firpoler kan afhængigheden være mere kompleks. For eksempel kan outputparametre udtrykkes i form af inputparametre af systemet

{\begin{cases}U_{2}=b_{11}U_{1}+b_{12}I_{1}\\I_{2}=b_{21}U_{1}+b_{22}I_{ 1}\\\end{cases));~~~{\begin{pmatrix}U_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12 }\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}

I fremtiden vil ligningssystemet i matrixform blive brugt, som det mest bekvemme til perception.

Parametersystemer

Et lineært netværk med fire terminaler, der ikke indeholder uafhængige kilder ( spænding og / eller strøm ) er beskrevet af fire parametre - to spændinger og to strømme. Hvilke som helst to af de fire mængder kan bestemmes i forhold til de resterende to. Da antallet af kombinationer er 2 ud af 4 - 6, bruges et af de seks systemer til registrering af de formelle parametre for kvadripolen [2] :

A - form U1 = AU2 + BI2 ; I 1 =CU 2 + DI 2 , hvor A, B, C, D er A-parametre, generaliserede [3] eller komplekse [4] parametre.
Y - form I1 = Y11U1 + Y12U2 ; _ _ I 2 \u003d Y 21 U 1 + Y 22 U 2 , hvor Y 11 , Y 12 , Y 21 , Y 22 er Y-parametre eller konduktivitetsparametre [5] .
Z-form U 1 \u003d Z 11 I 1 + Z 12 I 2 ; U 2 \u003d Z 21 I 1 + Z 22 I 2 , hvor Z11, Z 12 , Z 21 , Z 22 - Z-parametre eller modstandsparametre [5] .
H - form U1 = h11I1 + h12U2 ; _ _ I 2 \u003d h 21 I 1 + h 22 U 2 , hvor h 11 , h 12 , h 21 , h 22 er h-parametre, der bruges, når man overvejer kredsløb med transistorer [3] .
G-form I 1 = G 11 U 1 + G 12 I 2 ; U 2 \u003d G 21 U 1 + G 22 I 2 , hvor G er den parameter, der bruges, når man overvejer rørkredsløb.
B-form U 2 \u003d B 11 U 1 + B 12 I 1 ; I 2 \u003d B 21 U 1 + B 22 I 1

Det specifikke system er valgt af bekvemmelighedsgrunde. Valget afhænger af, hvilken parameter (spænding eller strøm) der er indgangen, og hvilken der er udgangssignalet for et givet fire-terminalt netværk.

I disse systemer med formelle parametre kan vilkårlige interne kilder (for eksempel jævnstrøm) ikke tages i betragtning, kun kontrollerede strømgeneratorer og kontrollerede spændingsgeneratorer er tilladt , som styres af indgangssignalerne fra det fire-terminale netværk. Derfor betragtes som firepolede kredsløb som regel ækvivalente vekselstrømkredsløb.

Systemer af ligninger og ækvivalente kredsløb af fire-terminal netværk, der bruger hver type parametre, er vist i tabellen.

Ligningssystemer, ækvivalente kredsløb, måling af parametre

Type	Ligningssystem	Parameter måling
$G$	${\begin{pmatrix}I_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{ pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}$	$g_{11}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{1}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad g_{12}=\left.{ \frac {I_{1}}{I_{2}}}\right\|_{U_{1}=0}$ $g_{21}=\left.{\frac {U_{2}}{U_{1}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad g_{22}=\left.{ \frac {U_{2}}{I_{2}}}\right\|_{U_{1}=0}$
$H$	${\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{ pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}$	$h_{11}=\left.{\frac {U_{1}}{I_{1}}}\right\|_{U_{2}=0}\quad h_{12}=\left.{ \frac {U_{1}}{U_{2}}}\right\|_{I_{1}=0}$ $h_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{I_{1}}}\right\|_{U_{2}=0}\quad h_{22}=\left.{ \frac {I_{2}}{U_{2}}}\right\|_{I_{1}=0}$
$Y$	${\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{11}&y_{12}\\y_{21}&y_{22}\end{ pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}$	$y_{11}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{1}}}\right\|_{U_{2}=0}\quad y_{12}=\left.{ \frac {I_{1}}{U_{2}}}\right\|_{U_{1}=0}$ $y_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{U_{1}}}\right\|_{U_{2}=0}\quad y_{22}=\left.{ \frac {I_{2}}{U_{2}}}\right\|_{U_{1}=0}$
$Z$	${\begin{pmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{ pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}$	$z_{11}=\left.{\frac {U_{1}}{I_{1}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad z_{12}=\left.{ \frac {U_{1}}{I_{2}}}\right\|_{I_{1}=0}$ $z_{21}=\left.{\frac {U_{2}}{I_{1}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad z_{22}=\left.{ \frac {U_{2}}{I_{2}}}\right\|_{I_{1}=0}$
$EN$	${\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{ pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}$	$a_{11}=\left.{\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad a_{12}=\left.{ \frac {U_{1}}{I_{2}}}\right\|_{U_{2}=0}$ $a_{21}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{2}}}\right\|_{I_{2}=0}\quad a_{22}=\left.{ \frac {I_{1}}{I_{2}}}\right\|_{U_{2}=0}$
$B$	${\begin{pmatrix}U_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{ pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}$	$b_{11}=\left.{\frac {U_{2}}{U_{1}}}\right\|_{I_{1}=0}\quad b_{12}=\left.{ \frac {U_{2}}{I_{1}}}\right\|_{U_{1}=0}$ $b_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{U_{1}}}\right\|_{I_{1}=0}\quad b_{22}=\left.{ \frac {I_{2}}{I_{1}}}\right\|_{U_{1}=0}$

Parameterkonvertering

Transformationsprincip

Lad os som et eksempel konvertere h-parametrene for en kvadripol til y-parametre. For at gøre dette skal du udføre følgende transformation af ligningssystemet:

{\begin{cases}U_{1}=h_{11}I_{1}+h_{12}U_{2}\\I_{2}=h_{21}I_{1}+h_{22}U_{ 2}\end{cases}}\to ~~~{\begin{cases}I_{1}=y_{11}U_{1}+y_{12}U_{2}\\I_{2}=y_{ 21}U_{1}+y_{22}U_{2}\end{cases}}.

Fra den første ligning i det oprindelige system udtrykker vi I 1 :

{\begin{cases}I_{1}={\frac {1}{h_{11}}}U_{1}-{\frac {h_{12}}{h_{11}}}U_{2}\ \I_{2}=h_{21}I_{1}+h_{22}U_{2}\end{cases}}.

Erstat den første ligning med den anden:

{\begin{cases}I_{1}={\frac {1}{h_{11}}}U_{1}-{\frac {h_{12}}{h_{11}}}U_{2}\ \I_{2}=h_{21}\left({\frac {1}{h_{11}}}U_{1}-{\frac {h_{12}}{h_{11}}}U_{2 }\right)+h_{22}U_{2}\end{cases}}.

Lad os transformere den anden ligning:

I_{2}={\frac {h_{21}}{h_{11}}}U_{1}+\venstre(h_{22}-{\frac {h_{12}h_{21}}{h_{ 11}}}\right)U_{2}={\frac {h_{21}}{h_{11}}}U_{1}+{\frac {h_{11}h_{22}-h_{12} h_{21}}{h_{11}}}U_{2}={\frac {h_{21}}{h_{11}}}U_{1}+{\frac {\Delta _{h}}{ h_{11}}}U_{2},

hvor $\Delta _{h}=h_{11}h_{22}-h_{12}h_{21}.$

Vi får et ligningssystem

{\begin{cases}I_{1}={\frac {1}{h_{11}}}U_{1}-{\frac {h_{12}}{h_{11}}}U_{2}\ \I_{2}={\frac {h_{21}}{h_{11}}}U_{1}+{\frac {\Delta _{h}}{h_{11}}}U_{2}\ slut{cases}}.

Ved at sammenligne det med målsystemet får vi udtryk for koefficienterne:

y_{11}={\frac {1}{h_{11}}};~~~y_{12}=-{\frac {h_{12}}{h_{11}}};~~~y_{ 21}={\frac {h_{21}}{h_{11}}};~~~y_{22}={\frac {\Delta _{h}}{h_{11}}};

Determinanten for det nye system findes ved en simpel substitution:

\Delta _{y}=y_{11}y_{22}-y_{12}y_{21}={\frac {1}{h_{11}}}{\frac {\Delta _{h}}{ h_{11}}}+{\frac {h_{12}}{h_{11}}}{\frac {h_{21}}{h_{11}}}={\frac {h_{11}h_{ 22}-h_{12}h_{21}+h_{12}h_{21}}{h_{11}^{2}}}={\frac {h_{22}}{h_{11}}}.

	$H$	$Y$	$Z$	$G$	$EN$
$H$		$h_{11}=1/å_{11}$ ${\displaystyle h_{12}=-y_{12}/y_{11))$ ${\displaystyle h_{21}=y_{21}/y_{11))$ ${\displaystyle h_{22}=\Delta _{y}/y_{11))$ ${\displaystyle \Delta _{h}=y_{22}/y_{11))$	${\displaystyle h_{11}=\Delta _{z}/z_{22))$ ${\displaystyle h_{12}=z_{12}/z_{22))$ ${\displaystyle h_{21}=-z_{21}/z_{22))$ $h_{22}=1/z_{22}$ ${\displaystyle \Delta _{h}=z_{11}/z_{22))$	${\displaystyle h_{11}=g_{22}/\Delta _{g))$ ${\displaystyle h_{12}=-g_{12}/\Delta _{g))$ ${\displaystyle h_{21}=-g_{21}/\Delta _{g))$ ${\displaystyle h_{22}=g_{11}/\Delta _{g))$ ${\displaystyle \Delta _{h}=1/\Delta _{g))$	$h_{11}=B/D$ $h_{12}=\Delta _{A}/D$ $h_{21}=-1/D$ $h_{22}=C/D$
$Y$	$y_{11}=1/h_{11}$ ${\displaystyle y_{12}=-h_{12}/h_{11))$ ${\displaystyle y_{21}=h_{21}/h_{11))$ ${\displaystyle y_{22}=\Delta _{h}/h_{11))$ ${\displaystyle \Delta _{y}=h_{22}/h_{11))$		${\displaystyle y_{11}=z_{22}/\Delta _{z))$ ${\displaystyle y_{12}=-z_{12}/\Delta _{z))$ ${\displaystyle y_{21}=-z_{21}/\Delta _{z))$ ${\displaystyle y_{22}=z_{11}/\Delta _{z))$ ${\displaystyle \Delta _{y}=1/\Delta _{z))$	${\displaystyle y_{11}=\Delta _{g}/g_{22))$ ${\displaystyle y_{12}=g_{12}/g_{22))$ ${\displaystyle y_{21}=-g_{21}/g_{22))$ $y_{22}=1/g_{22}$ ${\displaystyle \Delta _{y}=g_{11}/g_{22))$	$y_{11}=D/B$ $y_{12}=-\Delta _{A}/B$ $y_{21}=-1/B$ $y_{22}=A/B$
$Z$	$z_{11}=\Delta _{h}/h_{22}$ ${\displaystyle z_{12}=h_{12}/h_{22))$ ${\displaystyle z_{21}=-h_{21}/h_{22))$ $z_{22}=1/t_{22}$ ${\displaystyle \Delta _{z}=h_{11}/h_{22))$	${\displaystyle z_{11}=y_{22}/\Delta _{y))$ ${\displaystyle z_{12}=-y_{12}/\Delta _{y))$ ${\displaystyle z_{21}=-y_{21}/\Delta _{y))$ ${\displaystyle z_{22}=y_{11}/\Delta _{y))$ $\Delta _{z}=1/\Delta _{y}$		$z_{11}=1/g_{11}$ ${\displaystyle z_{12}=-g_{12}/g_{11))$ ${\displaystyle z_{21}=g_{21}/g_{11))$ ${\displaystyle z_{22}=\Delta _{g}/g_{11))$ ${\displaystyle \Delta _{z}=g_{22}/g_{11))$	$z_{11}=A/C$ $z_{12}=\Delta _{A}/C$ $z_{21}=1/C$ $z_{22}=D/C$
$G$	$g_{11}=h_{22}/\Delta _{h}$ $g_{12}=-h_{12}/\Delta _{h}$ $g_{21}=-h_{21}/\Delta _{h}$ $g_{22}=h_{11}/\Delta _{h}$ $\Delta _{g}=1/\Delta _{h}$	$g_{11}=\Delta _{y}/y_{22}$ $g_{12}=y_{12}/y_{22}$ $g_{21}=-y_{21}/y_{22}$ $g_{22}=1/å_{22}$ $\Delta _{g}=y_{11}/y_{22}$	$g_{11}=1/z_{11}$ ${\displaystyle g_{12}=-z_{12}/z_{11))$ ${\displaystyle g_{21}=z_{21}/z_{11))$ ${\displaystyle g_{22}=\Delta _{z}/z_{11))$ ${\displaystyle \Delta _{g}=z_{22}/z_{11))$		$g_{11}=C/A$ $g_{12}=-\Delta _{A}/A$ $g_{21}=\Delta _{A}/A$ $g_{22}=B/A$
$EN$	$A=-\Delta _{h}/h_{21}$ $B=-h_{11}/h_{21}$ $C=-h_{{22}}/h_{{21}}$ $D=-1/t_{{21}}$	$A=-y_{{22}}/y_{{21}}$ $B=-1/å_{{21}}$ $C=-\Delta _{y}/y_{21}$ $D=-y_{{11}}/y_{{21}}$	$A=z_{{11}}/z_{{21}}$ $B=\Delta _{z}/z_{21}$ $C=1/z_{{21}}$ $D=z_{{22}}/z_{{21}}$	$A=1/g_{{21}}$ $B=g_{{22}}/g_{{21}}$ $C=g_{{11}}/g_{{21}}$ $D=\Delta _{g}/g_{21}$

Skemakonverteringer

R in , R out - input og output modstande; K I , K U er strøm- og spændingsforstærkninger .

$R_{in}={\frac {U_{1}}{I_{1}}};\qquad R_{out}={\frac {U_{2}}{I_{2}}};\ qquad K_{I}={\frac {I_{2}}{I_{1}}};\qquad K_{U}={\frac {U_{2}}{U_{1}}}.$

Ordning	$H$	$Y$	$Z$	$G$
	$R_{in}={\frac {h_{11}+\Delta _{h}R}{1+h_{22}R))$ $R_{out}={\frac {h_{11}+r}{\Delta _{h}+h_{22}r))$ $K_{I}={\frac {h_{21}}{1+h_{22}R}}$ $K_{U}={\frac {-h_{21}R}{h_{11}+\Delta _{h}R}}$	$R_{in}={\frac {1+y_{22}R}{y_{11}+\Delta _{y}R}}$ $R_{out}={\frac {1+y_{11}r}{y_{22}+\Delta _{y}r))$ $K_{I}={\frac {y_{21}}{y_{11}+\Delta _{y}R}}$ $K_{U}={\frac {-y_{21}R}{1+y_{22}R))$	$R_{in}={\frac {\Delta _{z}+z_{11}R}{z_{22}+R))$ $R_{out}={\frac {\Delta _{z}+z_{22}r}{z_{22}+r))$ $K_{I}={\frac {-z_{21}}{z_{22}+R}}$ $K_{U}={\frac {z_{21}R}{-\Delta _{z}+z_{11}R}}$	$R_{in}={\frac {g_{22}+R}{\Delta _{g}+g_{11}R))$ $R_{out}={\frac {g_{22}+\Delta _{g}r}{1+g_{11}r))$ $K_{I}={\frac {-g_{21}}{\Delta _{g}+g_{11}R}}$ $K_{U}={\frac {g_{21}R}{g_{22}+R))$

Princippet om beregning af kredsløbsparametre

Lad os som et eksempel finde input/output-modstanden og strøm- og spændingsforstærkninger for et netværk med fire terminaler beskrevet af h-parametre.

Indgangsimpedans

R_{in}={\frac {U_{1}}{I_{1}}};

Et ubelastet netværk med fire terminaler er beskrevet af systemet

{\begin{cases}U_{1}=h_{11}I_{1}+h_{12}U_{2}\\I_{2}=h_{21}I_{1}+h_{22}U_{ 2}\end{cases}}.

Ved tilslutning af lasten

U_{2}=-I_{2}R.

Vi transformerer ligningssystemet

{\begin{cases}U_{1}=h_{11}I_{1}-h_{12}I_{2}R\\I_{2}=h_{21}I_{1}-h_{22}I_ {2}R\end{cases}};\qquad {\begin{cases}I_{2}h_{12}R=h_{11}I_{1}-U_{1}\\I_{2}(1 +h_{22}R)=h_{21}I_{1}\end{cases}};

(h_{11}I_{1}-U_{1})(1+h_{22}R)=h_{12}h_{21}I_{1}R;

h_{11}I_{1}(1+h_{22}R)-U_{1}(1+h_{22}R)=h_{12}h_{21}I_{1}R;

U_{1}(1+h_{22}R)=I_{1}[h_{11}(1+h_{22}R)-h_{12}h_{21}R];

U_{1}(1+h_{22}R)=I_{1}(h_{11}+h_{11}h_{22}R-h_{12}h_{21}R);

U_{1}(1+h_{22}R)=I_{1}(h_{11}+\Delta _{h}R);

R_{in}={\frac {U_{1}}{I_{1}}}={\frac {h_{11}+\Delta _{h}R}{1+h_{22}R }}.

Varianter af firpoler

Et symmetrisk netværk med fire terminaler er et netværk med fire terminaler, hvor kredsløbet er det samme med hensyn til dets input- og outputterminaler. Så for en symmetrisk fire-polet Z11 = Z22. Også: hvis deres strømme ikke ændres, når kilden og modtageren af energi udveksles, kaldes et sådant fireterminalt netværk symmetrisk.

En passiv quadripol er en quadripol, der ikke indeholder energikilder eller indeholder kompenserede energikilder.

En aktiv quadripol er en quadripol, der indeholder ukompenserede energikilder.

Et reversibelt netværk med fire terminaler er et netværk med fire terminaler, der opfylder reversibilitetsteoremet, det vil sige, at overføringsmodstanden for input- og outputkredsløbene ikke afhænger af hvilket par terminaler der er input og hvilket er output: U1/I2 =U2/I1

Særlige tilfælde af firpoler

Den ideelle transformer

En ideel transformer er et passivt netværk med fire terminaler, der formelt beskriver transformatormodellen uden at tage hensyn til tomgangsstrømmen og den ferromagnetiske kerne . Matematisk bestemmes dette af et ligningssystem, der ser ud som i H-form (eller den tilsvarende matrix):

{\begin{cases}U_{1}=h_{12}U_{2}\\I_{2}=h_{21}I_{1}\\\end{cases));{\begin{pmatrix}U_ {1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&h_{12}\\h_{21}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\ \U_{2}\end{pmatrix}}

Gyrator

En gyrator er et passivt tabsfrit kredsløb med fire terminaler, der konverterer indgangsstrømmen til en udgangsspænding og indgangsspændingen til en omvendt (inverteret) udgangsstrøm (inverter med positiv modstand [6] ). Matematisk er dette beskrevet af et system, der ligner en Y-form (eller dens tilsvarende matrix:

{\begin{cases}I_{1}=y_{12}U_{2}\\I_{2}=-y_{21}U_{1}\\\end{cases));{\begin{pmatrix} I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&y_{12}\\-y_{21}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1 }\\U_{2}\end{pmatrix}}

At. Gyratoren absorberer eller akkumulerer ikke energi og omdanner den komplekse belastningsmodstand til en modstand med det modsatte fortegn og et modul lig med det omvendte forhold:

Z_{out}={\frac {1}{-Z_{in}y_{21}^{2}}}

Nullor

Nullor er et netværk med fire porte, et unormalt element, hvor indgangsstrømmen og spændingen er lig med nul, og udgangsstrømmen og spændingen antager værdier, der ikke er relateret til hinanden [7] . Anomale elementer bruges i en række tilfælde i analyse og syntese af elektriske kredsløb.

Se også

bipolar

Noter

↑ Bakalov, 1989 , s. 171.
↑ Bessonov, 1978 , s. 109.
↑ 1 2 Bakalov, 1989 , s. 175.
↑ Bessonov, 1996 , s. 137.
↑ 1 2 Bakalov, 1989 , s. 174.
↑ Bessonov, 1996 , s. 149.
↑ Kisel, 1986 , s. 68.

Litteratur

Bessonov L.A. Teoretisk grundlag for elektroteknik. - M . : Højere skole, 1978. - 528 s.
Bessonov L.A. Teoretisk grundlag for elektroteknik. - M . : Højere skole, 1996. - 638 s.
Kisel V.A. Analoge og digitale korrekturer. - M . : Radio og kommunikation, 1986. - 184 s.
Bakalov V.P. Grundlæggende om teorien om elektriske kredsløb og elektronik. - M . : Radio og kommunikation, 1989. - 528 s. - ISBN 5-256-00265-1 .