Diskret Greens sætning

En diskret version af Greens sætning beskriver forholdet mellem det dobbelte integral af en funktion for et generaliseret rektangulært område (et område, der er dannet ud fra en endelig summering af rektangler i planet) og en lineær kombination af en antiafledt funktion givet i hjørnerne af regionen. I denne forstand vil vi overveje den populære version af den diskrete Greens teorem. [1] [2]

Sætningen er opkaldt efter den britiske matematiker George Green , på grund af ligheden med hans sætning, Greens sætning: begge sætninger beskriver forholdet mellem integration over en kurve og integration over et område afgrænset af en kurve. Sætningen blev først præsenteret som en kontinuerlig udvidelse af Wangs Integral Image Representation-algoritme i 2007 på ICCV International Conference on Computer Vision [1] og derefter genudgivet af professor Doretto og kolleger [3] i et peer-reviewed tidsskrift i 2011.

Ordlyd

Antag, at ƒ er en integrerbar funktion på R 2 -planet , således at:

F\left(x,y\right)\equiv \int _{0}^{y}\int _{0}^{x}f\left(u,v\right)\,du\, dv

er dens primitive funktion . Lade være et generaliseret rektangulært område. Så repræsenterer vi sætningen som: $D\subset R^{2}$

\iint _{D}f\left(x,y\right)\,dx\,dy=\sum _({\vec {x))\in \nabla \cdot D}\alpha _{D }\left({\vec {x}}\right)\cdot F\left({\vec {x}}\right),

hvor er sættet af hjørner af det givne område D , er en diskret parameter med mulige værdier {0, ±1, ±2}, som bestemmes afhængigt af typen af hjørne, som vist i figuren til højre. Denne parameter er et specialtilfælde af kurvetendens [4] , som successivt bestemmes ved at bruge en ensidig diskontinuitet [5] af kurven i hjørnerne af det givne område. $\nabla \cdot D$ $\alpha _{D}$

Denne teorem er en naturlig forlængelse af den generaliserede arealtabelalgoritme. Denne sætning udvider algoritmen i den forstand, at regionen kan være kontinuert, og den kan dannes ud fra et (endeligt) antal rektangler, mens den generaliserede områdetabelalgoritme antager, at regionen er et enkelt rektangel.

Den diskrete Greens teorem generaliserer også Newton-Leibniz-sætningen .

Idé om beviset

For at bevise sætningen kan du anvende formlen fra algoritmen "Integral repræsentation af billeder", som inkluderer de rektangler, der danner dette område:

Dette billede viser, hvordan + \ - koefficienter for den oprindelige funktion ophæver hinanden i rektangler, bortset fra punkter placeret i hjørnerne af dette område.

Eksempel

Antag, at funktionen ƒ er givet på planen R 2 , så er F dens antiafledte funktion. Lad D være området farvet grønt i følgende figur:

Ifølge sætningen gældende for dette område opnås følgende udtryk:

\iint _{D}f\left(x,y\right)\,dx\,dy=F\left(J\right)-2F\left(K\right)+F\left(L\ højre)-F\venstre(M\højre)+F\venstre(N\højre)-F\venstre(O\højre)+F\venstre(P\højre)+F\venstre(Q\højre)-F\ venstre(R\højre).

Ansøgninger

Discrete Greens teorem bruges i computerapplikationer til at detektere objekter i billeder og hurtigt beregne dem, såvel som af hensyn til effektiv beregning af sandsynligheder.

Generaliseringer

I 2011 blev to generaliseringer til teoremet foreslået:

En tilgang foreslået af prof. Pham og kolleger: en generalisering af polygondomænesætningen ved hjælp af dynamisk programmering [6] .
En tilgang foreslået af matematikeren Shahar: en generalisering af sætningen til en bredere vifte af områder ved hjælp af diskontinuitetsoperatoren [5] og den skrå linjeintegrationsmetode [7] , ved hjælp af hvilken den diskrete Greens sætning [8] blev formuleret .

Videoforedrag

En introduktion til den semi-diskrete beregning bag teorien om diskret Greens sætning .

Se også

Greens teorem

Noter

↑ 12 Wang, Xiaogang ; Doretto, Gianfranco; Sebastian, Thomas; Rittscher, Jens; Tu, Peter. "Shape and Appearance Context Modeling" (PDF) . i Proceedings of IEEE International Conference on Computer Vision (ICCV) 2007 . Forældet parameter brugt |coauthors=( hjælp ) Arkiveret 16. juli 2011 på Wayback Machine
↑ Finkelstein, Amir (2010). "A Discrete Green's Theorem" . Wolfram Demonstrationsprojekt . Arkiveret 12. november 2012 på Wayback Machine
↑ Doretto, Gianfranco; Sebastian, Thomas; Rittscher, Jens; Tu, Peter. "Udseendebaseret persongenidentifikation i kameranetværk: Problemoversigt og aktuelle tilgange" (PDF) . Journal of Ambient Intelligence and Humanized Computing, s. 1–25, Springer Berlin/Heidelberg, 2011 . Forældet parameter brugt |coauthors=( hjælp ) Arkiveret 26. marts 2012 på Wayback Machine
↑ Finkelstein, Amir (2010). "Tendens af en kurve" . Wolfram Demonstrationsprojekt . Arkiveret 24. september 2016 på Wayback Machine
↑ 1 2 Finkelstein, Amir (2010). "Adskillelse og tendens til en enkelt variabel funktion" . Wolfram Demonstrationsprojekt .
↑ Pham, Minh-Tri; Yanggao; Viet-Dung D. Hoang; Tat Jen Cham. "Hurtig polygonal integration og dens anvendelse til at udvide Haar-lignende funktioner for at forbedre objektdetektion" (PDF) . Proc. af IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR), San Francisco, CA, 2010 . Forældet parameter brugt |coauthors=( hjælp ) Arkiveret 2. september 2011 på Wayback Machine
↑ Finkelstein, Amir (2010). "Udvidet diskret Greens sætning" . Wolfram Demonstrationsprojekt . Arkiveret 20. november 2015 på Wayback Machine
↑ Shachar, Amir. "Om et forhold mellem den integrerede billedalgoritme og beregning" (PDF) . arXiv:1005.1418v11[cs.DM], 2011 . (utilgængeligt link)