Dobbelt brydning

Dobbeltbrydning eller dobbeltbrydning er en optisk egenskab ved anisotrope materialer, hvor brydningsindekset afhænger af lysets udbredelsesretning. I sådanne materialer kan effekten af at opdele en lysstråle i to komponenter observeres, når der, når den kommer ind i materialet, dannes ikke en, men to brudte stråler med forskellige retninger og polariseringer. Den blev først opdaget af den danske videnskabsmand Rasmus Bartholin på en krystal af islandsk spar i 1669 .

Beskrivelse

Enaksede materialer

Den enkleste type dobbeltbrydning ses i uniaksiale materialer . Oftest er disse krystaller, hvis gitter er asymmetrisk, nemlig det er aflangt eller komprimeret i enhver retning . I dette tilfælde ændrer rotation omkring denne retning (optisk akse) ikke krystallens optiske egenskaber. En lysbølges opførsel i et sådant medium afhænger af lysets udbredelsesretning og polarisering. En almindelig bølge er en, der er polariseret vinkelret på den optiske akse og udbredelsesretningen, og polariseringen af en ekstraordinær bølge er vinkelret på den for en almindelig bølge. Der kan skelnes mellem tre hovedtilfælde:

1) Lys forplanter sig langs den optiske akse (i dette tilfælde vil polarisationen være vinkelret på den optiske akse), så vil brydningsindekset være det samme for alle polarisationer, og krystallen i dette tilfælde adskiller sig ikke fra et isotropt medium, og der er ingen forskel på almindelige og ekstraordinære bølger.

2) Lys forplanter sig vinkelret på den optiske akse. Derefter kan polariseringen dekomponeres i to projektioner - parallelt med den optiske akse og vinkelret. Det effektive brydningsindeks vil være forskelligt for lys med to ortogonale polarisationer, og når det passerer gennem et lag (plade) af materiale, kan der observeres en faseforskydning mellem de to komponenter. Hvis den indledende polarisation er lineær og er orienteret enten helt langs eller helt vinkelret på den optiske akse, så vil den ikke ændre sig ved udgangen fra pladen. Men hvis lyset initialt er polariseret i en vinkel i forhold til den optiske akse, eller polariseringen er elliptisk eller cirkulær, kan polarisationen ændre sig på grund af en faseforskydning mellem komponenterne, når den passerer gennem en plade af en uniakset krystal. Skiftet afhænger af pladens tykkelse, forskellen mellem brydningsindekserne og lysets bølgelængde.

Lad vinklen mellem polarisationen og den optiske akse være . Hvis pladens tykkelse er sådan, at den ene polarisation ved udgangen fra den er en kvart bølge (en fjerdedel af en periode) bag den anden, så vil den oprindelige lineære polarisation blive cirkulær (en sådan plade kaldes en fjerdedel) -bølge) hvis fasen af den ene stråle halter bagud fasen af den anden stråle med halvdelen af bølgelængden, så vil lyset forblive lineært polariseret, men polariseringsplanet vil rotere gennem en bestemt vinkel, hvis værdi afhænger af vinklen mellem polariseringsplanet for den indfaldende stråle og planet for den optiske hovedakse (en sådan plade kaldes halvbølge). $45^{o}$

3) Lys forplanter sig i en vilkårlig retning i forhold til den optiske akse. Så vil ikke én brudt stråle blive observeret, men to med forskellige polariseringer. Retningen af de brudte stråler kan findes grafisk.

Den matematiske beskrivelse af processen er ret besværlig, men resultatet kan tydeligt illustreres ved hjælp af konstruktioner, der minder om illustrationen af diffraktion i en krystal ved hjælp af Ewald-konstruktionen .

Lad en bølge falde fra luften ned på overfladen af en enakset krystal. Instruktioner til at finde retningerne af bølge- og strålevektorerne for almindelige og ekstraordinære bølger for en uniakset krystal (se figuren, for nemheds skyld er den optiske akse i indfaldsplanet). :

1. Tegn overfladen af krystallen vandret.

2. Tegn en halvkugle i luften med en radius lig med én og med midten liggende på overfladen af krystallen.

2. Tegn en halvkugle i mediet med samme centrum og radius lig med brydningsindekset . ${\displaystyle n_{o))$

3. Tegn i mediet en ellipsoide med samme centrum, hvis større halvakse er orienteret langs krystallens optiske akse og er lig med , og den mindre er . ${\displaystyle n_{o))$ $n_{e}$

4. Konstruer hændelsen og de reflekterede stråler, så slutningen af hændelsen og begyndelsen af den reflekterede er i midten af sfærerne.

5. Tegn en lodret linje, der går gennem skæringspunktet mellem den reflekterede stråle og kuglen.

6. Find skæringspunkterne for linjen med kuglen og ellipsoiden i stoffet.

7. Tegn fra midten til skæringspunkterne for retningerne af bølgevektorerne for de almindelige og ekstraordinære bølger. Brydningsindeksene vil svare til længden af disse vektorer.

8. For en almindelig bølge: vektoren E skal være vinkelret på den optiske akse og vektoren k , k || s .

9. For en ekstraordinær bølge: Strålevektoren s skal være vinkelret på ellipsoiden i skæringspunktet. Den ekstraordinære stråle ligger muligvis ikke i indfaldsplanet. Polariseringen af den ekstraordinære bølge E er vinkelret på strålevektoren s og polariseringen af den almindelige bølge. Vektoren D er vinkelret på bølgevektoren k . Vektorerne D , E , s og k for den ekstraordinære bølge skal ligge i samme plan [1] .

Biaksiale materialer

I sådanne krystaller er brydningsindekserne forskellige langs alle tre akser i det kartesiske koordinatsystem. Overfladen af bølgevektorerne har en kompleks form, men der er stadig to adskilte retninger, som kan kaldes optiske akser, da der kun er én retning af k -vektoren, når den udbreder sig langs de optiske akser. I dette tilfælde svarer denne retning til et uendeligt antal strålevektorer, der fylder den koniske overflade, og konisk brydning observeres . Ved udbredelse langs retninger, der ikke falder sammen med de optiske akser, observeres dobbeltbrydning, men i dette tilfælde er begge stråler oftest ekstraordinære (retningen af bølgen og strålevektoren falder ikke sammen).

Dobbeltbrydning kan observeres ikke kun i krystaller, men også i ethvert materiale med en asymmetrisk struktur, for eksempel i plastik.

Fænomenets karakter

Kvalitativt kan fænomenet forklares som følger. Det følger af Maxwells ligninger for et materialemedium, at lysets fasehastighed i et medium er omvendt proportional med mediets dielektriske konstant ε. I nogle krystaller afhænger permittiviteten - en tensor -mængde - af retningen af den elektriske vektor, det vil sige af tilstanden af bølgepolarisering , og derfor vil fasehastigheden af bølgen afhænge af dens polarisering.

Ifølge den klassiske teori om lys skyldes forekomsten af effekten, at lysets vekslende elektromagnetiske felt får stoffets elektroner til at oscillere, og disse svingninger påvirker udbredelsen af lys i mediet og i nogle stoffer det er lettere at få elektronerne til at svinge i bestemte bestemte retninger.

Afledning af formler

I et isotropisk medium (inklusive frit rum) er den elektriske induktion ( D ) ganske enkelt proportional med det elektriske felt ( E ) ifølge D = ɛ E hvor permittiviteten ε kun er en skalar (og er lig med n 2 ε 0 hvor n er brydningsindekset ). Men i anisotrope materialer skal forholdet mellem D og E beskrives ved tensorligningen :

\mathbf {D} ={\boldsymbol {\varepsilon }}\mathbf {E}

(en)

hvor ε nu er en matrix på 3 × 3. Antag, at mediet er lineært, og den magnetiske permeabilitet er μ = μ 0 . Lad os skrive det elektriske felt af en plan bølge med frekvensen ω i følgende form:

{\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)))

(2)

hvor r er radiusvektoren, t er tiden, E 0 er vektoren, der beskriver det elektriske felt ved r = 0 , t = 0 . Lad os finde alle mulige bølgevektorer k . Ved at kombinere Maxwells ligninger for ∇ × E og ∇ × H , og eliminere H = enμ0 _B , vi får:

-\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {D}

(3a)

Husk også, at i mangel af gratis gebyrer forsvinder divergensen D :

\nabla \cdot \mathbf {D} =0

(3b)

Anvend relationen ∇ × (∇ × A ) = ∇(∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A på venstre side af 3a , og udnyt at feltet er en plan bølge, hvilket betyder at den afledede mhp. x (for eksempel) fører til multiplikation med ik x :

-\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =(\mathbf {k} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {k} -(\mathbf {k} \cdot \mathbf {k } )\mathbf {E}

Højre side af 3a kan udtrykkes i form af E med tensoren ε , og tidsafledte resulterer simpelthen i multiplikation med −iω , og derefter 3a :

(-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} )\mathbf {E} +(\mathbf {k} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {k} =-\mu _{0 }\omega ^{2}({\boldsymbol {\varepsilon }}\mathbf {E} )

(4a)

Ved at anvende differentiering på 3b finder vi:

\mathbf {k} \cdot \mathbf {D} =0

(4b)

Ligning 4b betyder, at D er vinkelret på retningen af bølgevektoren k , mens dette ikke længere er sandt for vektoren E , som det ville være i et isotropt medium. Ligning 4b vil ikke blive brugt yderligere.

At finde gyldige værdier for vektoren k for en given ω er nemmest i et kartesisk koordinatsystem , hvor x- , y- og z -akserne er parallelle med krystallens symmetriakser (eller blot ved at vælge z -aksen langs den optiske akse af en enakset krystal). Så vil matrixen for tensoren ε være diagonal:

\mathbf {\varepsilon } =\varepsilon _{0}{\begin{bmatrix}n_{x}^{2}&0&0\\0&n_{y}^{2}&0\\0&0&n_{z}^{ 2}\end{bmatrix}}

(4c)

på diagonalen er kvadraterne af brydningsindekset for polariseringer langs x- , y- og z -akserne . Substituere ε i denne form, og lysets hastighed c i formen c 2 =enμ 0 ε 0, Projektionen af vektorligningen 4a på x -aksen skrives som

\left(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}\right)E_{x}+k_{x}^{2}E_ {x}+k_{x}k_{y}E_{y}+k_{x}k_{z}E_{z}=-{\frac {\omega ^{2}n_{x}^{2)) {c^{2}}}E_{x}

(5a)

hvor E x , E y , Ez er komponenterne af vektoren E og k x , ky , k z er komponenterne af bølgevektoren k . Lad os nedskrive ligningerne for alle tre fremskrivninger lign. 4a :

\left(-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{x}^{2}}{c^{2} }}\right)E_{x}+k_{x}k_{y}E_{y}+k_{x}k_{z}E_{z}=0

(5b)

k_{x}k_{y}E_{x}+\left(-k_{x}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{ y}^{2}}{c^{2}}}\right)E_{y}+k_{y}k_{z}E_{z}=0

(5c)

k_{x}k_{z}E_{x}+k_{y}k_{z}E_{y}+\left(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2} +{\frac {\omega ^{2}n_{z}^{2}}{c^{2}}}\right)E_{z}=0

(5d)

Dette er et system af lineære ligninger på E x , E y , Ez , som kun har en ikke- trivial løsning (dvs. E = 0 ), hvis determinanten af følgende matrix er nul:

{\begin{vmatrix}\left(-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{x}^{2)) {c^{2}}}\right)&k_{x}k_{y}&k_{x}k_{z}\\k_{x}k_{y}&\left(-k_{x}^{2} -k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{y}^{2}}{c^{2}}}\right)&k_{y}k_{z}\\ k_{x}k_{z}&k_{y}k_{z}&\left(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_ {z}^{2}}{c^{2}}}\right)\end{vmatrix}}=0

(6)

Ved at beregne determinanten 6 får vi

{\frac {\omega ^{4}}{c^{4}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {k_ {x}^{2}+k_{y}^{2}}{n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{x}^{2}+k_{z}^{2} }{n_{y}^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}{n_{x}^{2}}}\right)+ \left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{y}^{2}n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{ n_{x}^{2}n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{x}^{2}n_{y}^{2}} }\right)\left(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}\right)=0

(7)

Ligning 7 kaldes også Fresnel-ligningen.

Enakset krystal

I dette tilfælde, i tilfælde af et enakset materiale (to diagonale elementer i matrixen ε er lig med hinanden), og ved at vælge koordinatsystemet, så den optiske akse er rettet langs z , betegner vi n x = n y = n o og n z = n e , udtrykket reduceres til

\left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_ {\mathrm {o} }^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{2}}}-{\frac {\omega ^ {2}}{c^{2}}}\right)\left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{\mathrm {e}}^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_{\mathrm {e} }^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{ 2))}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)=0

(otte)

For at ligning 8 skal holde, skal en af faktorerne være nul. Bemærk, at den første svarer til ligningen for en kugle, og den anden svarer til overfladen af en ellipsoide i rummet af bølgevektorer k for en given ω . Den første faktor svarer til løsningen for en almindelig bølge, hvor brydningsindekset er lig med n o uanset retning, og den anden - for en ekstraordinær. Den anden faktor svarer til løsningen for en ekstraordinær bølge, hvor det effektive brydningsindeks varierer fra n o til n e afhængig af retningen af k . For en vilkårlig retning af bølgeudbredelse er to vektorer k mulige , svarende til to forskellige polariseringer.

For en almindelig bølge er vektorerne D og E sammenfaldende, såvel som retningerne af bølgevektoren k og retningen af strålevektoren s i geometrisk optik (hvis retning er den samme som gruppehastighedsvektoren ). For en ekstraordinær bølge er dette generelt ikke tilfældet. Overvej ligningen for en enakset krystal $\mathbf {v} _{gr}=\nabla _{\mathbf {k} }\omega$

F(k_{x},k_{y},k_{z})={\frac {k_{x}^{2}}{n_{\mathrm {e} }^{2}}}+ {\frac {k_{y}^{2}}{n_{\mathrm {e} }^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{2}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=0

(9)

Lad os sammenligne ligningen for gruppehastigheden med ligningen for normalen til overfladen givet implicit. Da ligningerne falder sammen op til en konstant, er strålevektoren vinkelret på den betragtede ellipsoide. $\mathbf {v} _{gr}=\nabla _{\mathbf {k} }\omega$

Biaksial krystal

For at forstå, hvordan overfladen ser ud, når alle de diagonale elementer i matrixen ε er forskellige (let ), sætter vi en af komponenterne i vektoren k lig med nul ( ) og omskriver ligning 7 . ${\displaystyle n_{z}>n_{y}>n_{x))$ $k_{z}=0$

{\frac {\omega ^{4}}{c^{4}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {k_ {x}^{2}+k_{y}^{2}}{n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{x}^{2}}{n_{y}^{2 ))}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_{x}^{2}}}\right)+\left({\frac {k_{x}^{2}}{n_ {y}^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_{x}^{2}}}\right){\frac {k_{x}^{2}+ k_{y}^{2}}{n_{z}^{2}}}=0

(ti)

Det kan udregnes:

\left({\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-{\frac {k_{x}^{2}}{n_{y}^{2}}} -{\frac {k_{y}^{2}}{n_{x}^{2}}}\right)\left({\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}} -{\frac {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}{n_{z}^{2}}}\right)=0

(elleve)

Den første faktor er en ellipse, og den anden er en cirkel. En lignende udvidelse kan udføres for alle tre fly . Figuren viser overfladesektionerne af tre koordinatplaner i en oktant, i resten er billedet symmetrisk. Overfladen har 4 entalspunkter (selvskæringspunkter), i vores tilfælde, der ligger i xz -planet . To akser passerer gennem disse punkter , som kaldes optiske akser (eller binormale ) af en biaksial krystal. Kun i disse retninger kan bølgevektoren have en unik værdi. Men på et enkelt punkt på overfladen er retningen af normalen ubestemt, og strålevektoren kan fylde en konisk overflade (kegle med indre keglebrydning ) $k_{i}=0$ $\beta$

Kunstig dobbeltbrydning

Ud over dobbeltbrydende krystaller observeres dobbeltbrydning også i isotrope medier placeret i et elektrisk felt ( Kerr-effekt ), i et magnetfelt ( Faraday -effekt og Cotton-Mouton-effekt ), under påvirkning af mekaniske spændinger ( fotoelasticitet ). Under påvirkning af disse faktorer ændrer et oprindeligt isotropt medium sine egenskaber og bliver anisotropt. I disse tilfælde falder mediets optiske akse sammen med retningen af det elektriske felt, magnetfeltet og retningen for kraftpåføring.

Positive og negative krystaller

Negative krystaller er enaksede krystaller, hvor udbredelseshastigheden af en almindelig lysstråle er mindre end udbredelseshastigheden af en ekstraordinær stråle. I krystallografi kaldes negative krystaller også for væskeindeslutninger i krystaller, der har samme form som selve krystallen.
Positive krystaller er enaksede krystaller, hvor udbredelseshastigheden af en almindelig lysstråle er større end udbredelseshastigheden af en ekstraordinær stråle.

Se også

Relaterede medier Birefringence på Wikimedia Commons
Polarisering af dielektrikum
Bomuld-Mouton effekt
Kerr effekt
Pockels effekt
Faraday effekt

Litteratur

Sivukhin DV Almen kursus i fysik. — M. . - T. IV. Optik.
Landsberg G.S. Optics M., 2004
Landau L. D. , Lifshits E. M. Elektrodynamik af kontinuerlige medier. - 4. udgave, stereotypisk. — M .: Fizmatlit , 2003. — 656 s. - ( Teoretisk fysik , bind VIII). — ISBN 5-9221-0123-4 .
Saleh B., Teich M. , Optik og fotonik. Principper og anvendelser, trans. fra engelsk. I 2 t.

Noter

↑ D. A. Parshin, G. G. Zegrya. Elektromagnetiske bølger. bølgeligning. Flade bølger. Energiflow i en plan bølge. Pegende vektor. Impulsfluxtæthed. Stress tensor. let tryk. Lebedevs eksperimenter. . Elektromagnetiske bølger. Foredrag 18 . Hentet 21. august 2020. Arkiveret fra originalen 11. juli 2019. (ubestemt)