Gruppehastighed

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 3. maj 2021; checks kræver 4 redigeringer .

Gruppehastigheden er en størrelse, der karakteriserer udbredelseshastigheden af en "gruppe af bølger" - altså en mere eller mindre vellokaliseret kvasi-monokromatisk bølge (bølger med et ret smalt spektrum). Det fortolkes sædvanligvis som bevægelseshastigheden af maksimum af amplitudeindhylningen af en kvasi-monokromatisk bølgepakke (eller bølgetog). Når man betragter udbredelsen af bølger i rummet med en dimension større end én, menes som regel en bølgepakke, der i form er tæt på en plan bølge [1] .

Gruppehastigheden bestemmer i mange vigtige tilfælde hastigheden af energi- og informationsoverførsel ved en kvasi-sinusformet bølge (selvom denne erklæring i det generelle tilfælde kræver seriøse afklaringer og forbehold).

Gruppehastigheden bestemmes af dynamikken i det fysiske system, hvori bølgen udbreder sig (af et bestemt medie, et bestemt felt osv.). I de fleste tilfælde antages lineariteten af dette system (præcis eller tilnærmelsesvis).

For endimensionelle bølger beregnes gruppehastigheden ud fra spredningsloven :

v_{gr}=d\omega /dk

hvor er vinkelfrekvensen , er bølgetallet . $\omega$ $k$

Gruppehastigheden af bølger i rummet (for eksempel tredimensionel eller todimensional) bestemmes af frekvensgradienten langs bølgevektoren : ${\vec k}$

{\vec v}_{{gr}}=\nabla _{{\vec k}}\omega

eller (til 3D-rum):

(v_{{gr}})_{x}=\partial \omega /\partial k_{x},

(v_{{gr}})_{y}=\partial \omega /\partial k_{y},

(v_{{gr}})_{z}=\partial \omega /\partial k_{z}.

Bemærk: Gruppehastigheden afhænger generelt af bølgevektoren (i det endimensionelle tilfælde af bølgetallet), det vil sige, den er forskellig for forskellige værdier og for forskellige retninger af bølgevektoren.

Særlige tilfælde

I endimensionelle medier uden spredning falder gruppehastigheden formelt sammen med fasehastigheden kun i tilfælde af endimensionelle bølger.

I dissipative (absorberende) medier falder gruppehastigheden med stigende frekvens i tilfælde af normal fasehastighedsdispersion og omvendt stiger i medier med unormal dispersion . I dette tilfælde kan gruppehastigheden overvinde lysets hastighed i det valgte medium, såvel som negativ anomal spredning, når gruppehastigheden er modsat fasehastigheden. I dissipative strukturer (for eksempel plasmoniske) kan gruppehastigheden have en hvilken som helst værdi: mindre end lysets hastighed, mere end lysets hastighed, være negativ i forhold til fasehastigheden, gå gennem uendelighed. En sådan gruppehastighed er en kinematisk størrelse (som fasehastigheden) og bestemmer overførselshastigheden af slagene fra to monokromatiske bølger uendeligt tæt på i frekvens (som anset af Stokes). For Hamilton-systemer (lukkede systemer uden dissipation) i det generelle tilfælde S.M. Rytov (ZhETF, 7, 930, 1947) beviste en sætning, der siger, at gruppehastigheden falder sammen med hastigheden af elektromagnetisk energioverførsel af en monokromatisk bølge (Leontovich-Lighthill-Rytov-sætningen). Negativ (med hensyn til fasehastigheden) gruppehastighed i sådanne ikke-dissipative medier og strukturer svarer til bagudgående bølger. I dissipative medier og strukturer bestemmer retningen af energibevægelsen Poynting-vektoren eller retningen af bølgehenfald.

Hvis mediets spredningsegenskaber er sådan, at bølgepakken forplanter sig i det uden væsentlige ændringer i formen af dets hylster, kan gruppehastigheden normalt fortolkes som overførselshastigheden af bølgens "energi" og hastigheden ved hvilke signaler, der bærer information, kan transmitteres ved brug af bølgepakken (dvs. "hastigheden af udbredelse af kausalitet").

I den klassiske grænse for kvantemekaniske ligninger er hastigheden af en klassisk partikel værdien af gruppehastigheden for den tilsvarende kvantemekaniske bølgefunktion. En af et par af Hamiltons kanoniske ligninger :

{\dot q}_{i}=\partial H/\partial p_{i}

er således den klassiske grænse for ovenstående udtryk for gruppehastigheden; dette er især tydeligt i kartesiske koordinater, givet ${\vec p}=\hbar {\vec k},\ H(p,q)=\hbar \omega (k,q).$

Historie

Ideen om en gruppehastighed forskellig fra en bølges fasehastighed blev først foreslået af Hamilton i 1839. Den første tilstrækkeligt fuldstændige overvejelse blev foretaget af Rayleigh i hans "Theory of Sound" i 1877 [2] .

Noter

↑ Miller M. A., Suvorov E. V. Gruppehastighed // Physical Encyclopedia / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - M .: Soviet Encyclopedia , 1988. - T. 1. - S. 544-545. - 704 s. — 100.000 eksemplarer.
↑ Brillouin, Léon (1960), Wave Propagation and Group Velocity , New York: Academic Press Inc., OCLC 537250

Litteratur

Whitham J. B. Lineære og ikke-lineære bølger. — M.: Mir. - 1977.
Ablowitz MJ & Segur H. Solitons og den omvendte spredningstransform. — SIAM Philadelphia. - 1981.
Rabinovich MI, Trubetskov DI Oscillationer og bølger i lineære og ikke-lineære systemer. — Kewver-Academic Publ., Amsterdam. – 1989.
Ostrovsky LA og Potapov AI modulerede bølger. Teori og anvendelser. Johns Hopkins Uni Press, Baltimore-London. – 1999.

Bølgehastigheder _
gruppehastighed Fasehastighed Frontal hastighed Signalhastighed