Permutationsgruppe af rang 3

Rang 3 permutationsgruppen virker transitivt på sættet, så punktstabilisatoren har 3 baner [1] . Undersøgelsen af disse grupper blev initieret af Donald Higman [2] [3] . Nogle sporadiske simple grupper er blevet opdaget som permutationsgrupper af rang 3.

Klassifikation

Primitive permutationsgrupper af rang 3 falder i følgende klasser:

Cameron [4] klassificerede grupper sådan, at , hvor socle T af T 0 er enkel og T 0 er en 2-transitiv gruppe af grad . $T\times T\leqslant G\leqslant T_{0}\operatørnavn {wr} Z/2Z$ ${\sqrt {n}}$
Liebeck [5] klassificerede grupper med regulære elementære abelske normale undergrupper
Bannay [6] klassificerede grupper, hvis socle er en simpel vekslende gruppe
Cantor [7] klassificerede grupper, hvis socle er en simpel klassisk gruppe
Liebeck og Saxl [8] klassificerede grupper, hvis socle er en simpel klassisk exceptionel eller sporadisk gruppe

Eksempel

Hvis G er en hvilken som helst 4-transitiv gruppe, der virker på en mængde S , så er dens virkning på par af elementer i S en permutationsgruppe af rang 3 [9] . Især de fleste alternerende grupper, symmetriske grupper og Mathieu-grupper har 4-transitive handlinger og hører derfor til rang 3 permutationsgrupper.

En projektiv komplet lineær gruppe, der virker på linjer i et projektivt rum med dimension på mindst 3, er en permutationsgruppe af rang 3.

Nogle 3-permutationsgrupper er permutationsgrupper af rang 3 (ved handlingen på permutationerne).

Typisk er en punktstabilisator af en rang 3 permutationsgruppe, der virker på en af banerne, en rang 3 permutationsgruppe. Dette giver nogle "kæder" af rang 3 permutationsgrupper, såsom Suzuki-kæden og kæden, der ender med Fisher grupper .

Nogle usædvanlige permutationsgrupper af rang 3 er anført nedenfor (mange af dem er taget fra Liebeck og Saxl [8] ).

For hver række i tabellen nedenfor, i kolonnen "størrelse", er tallet til venstre for tegnet lig med permutationsgruppeeksponenten [10] for permutationsgruppen for permutationsgruppen nævnt i rækken. Summen til højre for lighedstegnet viser længden af de tre kredsløb af stabilisatorerne i permutationsgruppepunktet. For eksempel betyder udtrykket 15 = 1+6+8 i den første række af tabellen, at permutationsgruppen har et indeks på 15 og længden af de tre baner af stabilisatorerne af punktet i permutationsgruppen er 1, 6 og 8, henholdsvis.

Gruppe	Punktstabilisator	størrelsen	Kommentarer
$\mathrm {A} _{6}=\mathrm {L} _{2}(9)=$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} _{4}(2)^{\prime }=\mathrm {M} _{1}0^{\prime ))$	${\displaystyle \mathrm {S} _{4))$	15 = 1+6+8	Par af punkter eller sæt af 3 blokke af 2 i en 6-punkts permutationsrepræsentation; to klasser
$\mathrm {A} _{9}$	$\mathrm {L} _{2}(8):3$	120 = 1+56+63	Projektiv linje P 1 (8); to klasser
$\mathrm {A} _{10}$	$(\mathrm {A} _{5}\times \mathrm {A} _{5}):4$	126 = 1+25+100	Sæt med 2 blokke af 5 i naturlig 10-punkts permutationsrepræsentation
$\mathrm {L} _{2}(8)$	$7:2=\mathrm {Dih} (7)$	36 = 1+14+21	Par af point i P 1 (8)
$\mathrm {L} _{3}(4)$	$\mathrm {A} _{6}$	56 = 1+10+45	Hyperovaler i P2 ( 4); tre klasser
$\mathrm {L} _{4}(3)$	$\mathrm {PSp} _{4}(3):2$	117 = 1+36+80	Symplektiske polariteter P 3 (3); to klasser
$\mathrm {G} _{2}(2)^{\prime }=\mathrm {U} _{3}(3)$	$\mathrm {PSL} _{3}(2)$	36 = 1+14+21	Suzuki kæde
$\mathrm {U} _{3}(5)$	${\displaystyle \mathrm {A} _{7))$	50 = 1+7+42	Handling på hjørnerne af Hoffman-Singleton-grafen ; tre klasser
$\mathrm {U} _{4}(3)$	$\mathrm {L} _{3}(4)$	162 = 1+56+105	to klasser
$\mathrm {Sp} _{6}(2)$	$\mathrm {G} _{2}(2)=\mathrm {U} _{3}(3):2$	120 = 1+56+63	Chevalley-gruppe af type G 2 , der virker på oktonionalgebraen over GF(2)
$\mathrm {\Omega } _{7}(3)$	$\mathrm {G} _{2}(3)$	1080 = 1+351+728	Chevalley-gruppe af type G 2 , der virker på de imaginære oktonioner af oktonionalgebraen over GF(3); to klasser
$\mathrm {U} _{6}(2)$	${\displaystyle \mathrm {U} _{4}(3):2_{2))$	1408 = 1+567+840	Punktstabilisatoren er billedet af den lineære repræsentation, der er et resultat af at "sænke" den komplekse repræsentation af Mitchell-gruppen (den komplekse reflektionsgruppe) modulo 2; tre klasser
M11 _	$\mathrm {M} _{9}:2=3^{2}:\mathrm {SD} _{16}$	55 = 1+18+36	Par af punkter i 11-punkts permutationsrepræsentation
M12 _	$\mathrm {M} _{10}:2=\mathrm {A} _{6}.2^{2}=$ $\mathrm {P{\Gamma }L} (2,9)$	66 = 1+20+45	Par af punkter eller par af komplementære blokke S(5,6,12) i en 12-punkts permutationsrepræsentation; to klasser
M22 _	2 4 :A 6	77 = 1+16+60	Blokke S(3,6,22)
J2 _	$\mathrm {U} _{3}(3)$	100 = 1+36+63	Suzuki-kæde ; handling på hjørnerne af Hall-grafen - Janko
Higman Group - Sims HS	M22 _	100 = 1+22+77	Handling på hjørner af Count Higman - Sims
M22 _	${\displaystyle \mathrm {A} _{7))$	176 = 1+70+105	to klasser
M23 _	$\mathrm {M} _{21}:$ ${\displaystyle 2=\mathrm {L} _{3}(4):2_{2))$ $=\mathrm {P{\Sigma }L} (3,4)$	253 = 1+42+210	Par af punkter i 23-punkts permutationsrepræsentation
M23 _	$2^{4}:\mathrm {A} _{7}$	253 = 1+112+140	Blokke S(4,7,23)
McLaughlin Group McL	$\mathrm {U} _{4}(3)$	275 = 1+112+162	Action på toppen af grev McLaughlin
M24 _	$\mathrm {M} _{22}:2$	276 = 1+44+231	Par af punkter i 24-punkts permutationsrepræsentation
G2 ( 3 )	$\mathrm {U} _{3}(3):2$	351 = 1+126+244	to klasser
G2 ( 4 )	J2 _	416 = 1+100+315	Suzuki kæde
M24 _	$\mathrm {M} _{12}:2$	1288 = 1+495+792	Par af komplementære 12-punkts sæt i en 24-punkts permutationsrepræsentation
Suzuki Group Suz	$\mathrm {G} _{2}(4)$	1782 = 1+416+1365	Suzuki kæde
G2 ( 4 )	$\mathrm {U} _{3}(4):2$	2016 = 1+975+1040
Co 2	$\mathrm {PSU} _{6}(2):2$	2300 = 1+891+1408
Rudvalis Group Ru	2 F 4 (2)	4060 = 1+1755+2304
Fi 22	$2.\mathrm {PSU} _{6}(2)$	3510 = 1+693+2816	3-permutationer
Fi 22	$\mathrm {\Omega } _{7}(3)$	14080 = 1+3159+10920	to klasser
Fi 23	2.Fi22 _ _	31671 = 1+3510+28160	3-permutationer
$\mathrm {G} _{2}(8).3$	$\mathrm {SU} _{3}(8).6$	130816 = 1+32319+98496
Fi 23	$\mathrm {P\Omega } _{8}^{+}(3).\mathrm {S} _{3}$	137632 = 1+28431+109200
Fi 24 '	fi 23	306936 = 1+31671+275264	3-permutationer

Noter

↑ Må ikke forveksles med 3-permutationsgruppen, som repræsenterer permutationer af tre elementer. På russisk er navnene på grupperne næsten de samme, på engelsk hedder den første rank 3 permutation group , den anden er 3-transposition group .
↑ Higman, 1964 .
↑ Higman, 1971 .
↑ Cameron, 1981 .
↑ Liebeck, 1987 .
↑ Bannai, 1971–72 .
↑ Kantor, Liebler, 1982 .
↑ 1 2 Liebeck, Saxl, 1986 .
↑ . De tre baner er: selve det faste par; par, der har et fælles element med et fast par; par, der ikke har fælles elementer med et fast par.
↑ Når man diskuterer en permutationsgruppe på et sæt af n elementer, er gruppens eksponent antallet af elementer i mængden, dvs. n . Ikke at forveksle med grupperækkefølge. Hvis G er en generel gruppe, lad betegne den mindste , sådan at G er isomorf til en undergruppe af den symmetriske gruppe S . Tallet kaldes G -gruppeeksponenten ( Berkovich 1999 ). Se også Permutationsgruppe . $\delta (G)$ $n\in \mathbb {N}$ $\delta (G)$

Litteratur

Eiichi Bannai. Maksimale undergrupper af lav rang af endelige symmetriske og alternerende grupper // Tidsskrift for Det Naturvidenskabelige Fakultet. Universitetet i Tokyo. Afsnit IA. Matematik. - 1971-72. - T. 18 . — S. 475–486 . — ISSN 0040-8980 .
Brouwer AE, Cohen AM, Neumaier A. Afstandsregulære grafer. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1989. - Vol. 18. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultater i matematik og beslægtede områder (3)]). - ISBN 978-3-540-50619-5 .
Peter J. Cameron. Finite permutation groups and finite simple groups // The Bulletin of the London Mathematical Society. - 1981. - T. 13 , no. 1 . — S. 1–22 . — ISSN 0024-6093 . - doi : 10.1112/blms/13.1.1 .
Donald G. Higman. Finite permutationsgrupper af rang 3 // Mathematische Zeitschrift . - 1964. - T. 86 . — S. 145–156 . — ISSN 0025-5874 . - doi : 10.1007/BF01111335 .
Donald G. Higman. En undersøgelse af nogle spørgsmål og resultater om rang 3 permutationsgrupper // Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970) . - Gauthier-Villars, 1971. - T. 1. - S. 361-365. Arkiveret 25. november 2017 på Wayback Machine
William M. Kantor, Robert A. Liebler. Rang 3 permutationsrepræsentationer af de endelige klassiske grupper // Transactions of the American Mathematical Society . - 1982. - T. 271 , no. 1 . — S. 1–71 . — ISSN 0002-9947 . - doi : 10.2307/1998750 .
Martin W. Liebeck. De affine permutationsgrupper af rang tre // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1987. - T. 54 , no. 3 . — S. 477–516 . — ISSN 0024-6115 . - doi : 10.1112/plms/s3-54.3.477 .
Martin W. Liebeck, Jan Saxl. De endelige primitive permutationsgrupper af rang tre // The Bulletin of the London Mathematical Society. - 1986. - T. 18 , no. 2 . — S. 165–172 . — ISSN 0024-6093 . - doi : 10.1112/blms/18.2.165 .
Yakov Berkovich. Graden og indekset for en endelig gruppe // Journal of Algebra. - 1999. - T. 214 ,. - S. 740-761 . (utilgængeligt link)