Birch-Swinnerton-Dyer hypotese

Birch-Swinnerton-Dyer- hypotesen  er en matematisk hypotese om egenskaberne ved elliptiske kurver , et af Millennium-problemerne , for hvis løsning Clay Institute tilbød en pris på 1 million dollars .

I søgen efter et svar på spørgsmålet under hvilke betingelser Diophantine ligninger i form af algebraiske ligninger har løsninger i heltal og rationelle tal [1] ,  foreslog Brian Birch og Peter Swinnerton-Dyer i begyndelsen af ​​1960'erne, at rangen af ​​en elliptisk kurve over et felt er lig med rækkefølgen af ​​nul Hasse-Weyl zeta-funktioner i punktet . Mere præcist siger formodningen, at der er en ikke-nul grænse, hvor værdien afhænger af fine aritmetiske invarianter af kurverne. Baseret på data fra numeriske eksperimenter blev det antaget [2] at asymptotikken er sand

hvor  er antallet af heltalspunkter på kurven med rang modulo ,  er en konstant.

Formodninger er den eneste relativt simple generelle måde at beregne rangeringen af ​​elliptiske kurver .

Vigtigste resultater

I 1977 beviste John Coates og Andrew Wiles udsagnet, som er sandt for en stor klasse af elliptiske kurver, at hvis kurven indeholder uendeligt mange rationelle punkter, så .

I 1986 viste Benedict Gross og Don Zagier , at hvis en modulær elliptisk kurve har et førsteordens nul ved , så har den et rationelt punkt af uendelig orden ( Gross-Zagier-sætningen );

I 1989 viste Viktor Kolyvagin , at en modulær elliptisk kurve, for hvilken ikke er lig med nul, har rang 0, og en modulær elliptisk kurve, for hvilken har et førsteordens nul ved s = 1, har rang 1.

I 1991 viste Karl Rubin , at for elliptiske kurver defineret over et imaginært kvadratisk felt med kompleks multiplikation med , hvis -rækken af ​​den elliptiske kurve er ikke-nul ved s = 1, så havde p-delen af ​​Tate-Shafarevich-gruppen den forudsagte bestilling af Birch formodning og Swinnerton-Dyer for alle primtal .

I 1999 beviste Christoph Breuil , Brian Conrad , Fred Diamond og Richard Taylor modularitetsteoremet (at alle elliptiske kurver defineret over rationelle tal er modulære), dette udvider resultater #2 og #3 til alle elliptiske kurver over rationelle tal og viser, at -funktioner af alle elliptiske kurver over er defineret for s = 1.

I 2015 beviste Arul Shankar og Manjul Bhargava , at den gennemsnitlige rangering af Mordell-Weil-gruppen for en elliptisk kurve over er afgrænset ovenfor af 7/6.

Noter

  1. ↑ Stuart, 2015 , s. 360.
  2. ↑ Birch-Swinnerton-Dyer, 1965 .

Litteratur