Harmonisk tal

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 18. december 2021; verifikation kræver 1 redigering .

I matematik er det n'te harmoniske tal summen af de reciproke tal af de første n på hinanden følgende tal i den naturlige række :

H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k))=1+{\frac {1}{2))+{\frac {1} {3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}.

Harmoniske tal er delsummer af den harmoniske række .

Studiet af harmoniske tal begyndte i antikken. De er vigtige inden for forskellige områder inden for talteori og algoritmeteori, og er især tæt forbundet med Riemann zeta-funktionen .

Alternative definitioner

Harmoniske tal kan defineres rekursivt som følger: ${\begin{cases}H_{n}=H_{n-1}+{\frac {1}{n}}\\H_{1}=1\end{cases}}$

Forholdet er også korrekt: $H_{n}=\gamma +\psi (n+1)={\frac {\Gamma '(n)}{\Gamma (n)))+{\frac {1}{n))+ \gamma$ , hvor er digamma-funktionen , er Euler-Mascheroni-konstanten . $\psi (n)$ $\gamma =-\psi (1)$
Flere forhold: $H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}$ $H_{n}={n}\sum _{k=1}^{n}{\binom {n-1}{k-1)){\frac {(-1)^{k+1 }}{k^{2}}}={(-1)^{n-1}}{n}\Delta ^{n-1}{1}^{-2},$ hvor ved punktet er den øvre endelige forskel af funktionens n . orden . $\Delta ^{n}{1}^{-2}=\Delta ^{n}{x}^{-2}$ ${x}=1$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{x}^{2))))$

Yderligere repræsentationer

Følgende formler kan bruges til at beregne harmoniske tal (inklusive på andre punkter end punkterne i den naturlige række):

integrerede repræsentationer: $H_{x}=\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{x}}{1-t}}dt,\quad Re(x)>-1$

grænserepræsentationer: $H_{x}=\lim _{n\to \infty }\left(\ln(n)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{x+k+ 1 }}\right)+\gamma$ $H_{x}=x\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)(x+k+1)))$ ;

udvidelse i en Taylor-serie på et tidspunkt : $x=0$ $H_{x}=\sum _{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\zeta (k+1)x^{k}=\zeta (2)x -\zeta (3)x^{2}+\zeta (4)x^{3}-\zeta (5)x^{4}+\cdots ,$ hvor er Riemann zeta-funktionen ; $\zeta (x)$

asymptotisk ekspansion : $H_{x}=\gamma +\ln(x)+{\frac {1}{2x}}-{\frac {1}{12x^{2}}}+{\frac {1}{ 120x^{4}}}-{\frac {1}{252x^{6}}}+{\frac {1}{240x^{8}}}-{\frac {1}{132x^{10} }}+\cdots$ .

Genererer funktion

$\sum _{k=1}^{\infty}H_{k}z^{k}=-{\frac {\ln(1-z)}{1-z))$

Egenskaber

Værdier fra et ikke-heltalsargument

$H_{1/2}=2-2\ln 2$

$H_{1/3}=3-{\frac {3\ln 3}{2}}-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}$

$H_{1/4}=4-3\ln 2-{\frac {\pi }{2))$

$H_{1/5}=5-{\frac {5\ln 5}{4}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\ sqrt {5}}}}\pi -{\frac {\sqrt {5}}{2}}\ln \varphi ,$

hvor er det gyldne snit .

\varphi

$H_{1/7}=7-\ln 14-{\frac {\pi }{2))\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{7))-2\cos \left( {\frac {\pi }{7}}\right)\ln \left(\cos {\frac {\pi }{14}}\right)+2\sin \left({\frac {3\pi } {14}}\right)\ln \left(\sin {\frac {\pi }{7}}\right)-2\sin \left({\frac {\pi }{14}}\right)\ ln \venstre(\cos {\frac {3\pi }{14}}\højre)$

Summer relateret til harmoniske tal

$\sum _{k=1}^{n}{H_{k}}=(n+1){H_{n}}-n=(n+1)({H_{n+1}} -en)$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k}}=\infty$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{2}}}=2\zeta (3)$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{3}}}={\frac {1}{2}}\zeta (2)^ {2}={\frac {5}{4}}\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{72}}$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{4}}}=3\zeta (5)-\zeta (2)\zeta (3 )=3\zeta (5)-{\frac {\pi ^{2}}{6}}\zeta (3)$

Identiteter relateret til harmoniske tal

$(H_{n})^{3}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n} {\frac {1}{ijk))$
$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{k=j+1}^{1}{\frac {1}{ ijk))={\frac {1}{2}}H_{n}(H_{n}^{2}-\zeta _{n}(2))$ , hvor ${\displaystyle \zeta _{n}(2)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2))))$
$\zeta _{n}(2)=(H_{n})^{2}-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {2H_{k}}{k+ 1 }}-1$ , hvor ${\displaystyle \zeta _{n}(2)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2))))$
$H_{n^{2}}+1=(H_{n})^{2}+\sum _{k=1}^{n-1}\left(H_{(k+1)^ {2}-1}-{\frac {2H_{k}}{k+1}}-H_{k^{2}}\right)$

Tilnærmet beregning

Ved at bruge Euler-Maclaurin summationsformlen får vi følgende formel:

H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}+\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{2kn ^{2k))}-\theta _{m,n}{\frac {B_{2m+2}}{(2m+2)n^{2m+2}}},

hvor , er Euler-konstanten , som kan beregnes hurtigere ud fra andre betragtninger $0<\theta _{m,n}<1$ $\gamma$ [ hvad? ] , og er Bernoulli-tallene . $B_{k}$

Talteoretiske egenskaber

Wolstenholms sætning siger, at for ethvert primtal gælder sammenligningen: $p>3$ $H_{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2))}.$

Nogle betydninger af harmoniske tal

{\begin{matrix}H_{1}&=&1\\\\H_{2}&=&{\frac {3}{2}}&=&1{,}5\\\\H_{ 3}&=&{\frac {11}{6}}&\approx &1{,}833\\\\H_{4}&=&{\frac {25}{12}}&\approx &2{, }083\\\\H_{5}&=&{\frac {137}{60}}&\approx &2{,}283\end{matrix}}

{\begin{matrix}H_{6}&=&{\frac {49}{20}}&=&2{,}45\\\\H_{7}&=&{\frac {363} {140}}&\approx &2{,}593\\\\H_{8}&=&{\frac {761}{280}}&\approx &2{,}718\\\\H_{10^{ 3}}&\approx &7{,}485\\\\H_{10^{6}}&\approx &14{,}393\end{matrix}}

Tælleren og nævneren af den irreducerbare brøk , som er det n'te harmoniske tal, er de n'te medlemmer af henholdsvis heltalssekvenserne A001008 og A002805 .

Ansøgninger

I 2002 beviste Lagarias [1] at Riemann-hypotesen om nullerne i Riemann zeta-funktionen svarer til at sige, at uligheden

\sigma (n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{{H_{n}}}

er sandt for alle heltal med streng ulighed for , hvor er summen af divisorerne af . $n\geq 1$ $n>1$ $\sigma (n)$ $n$

Se også

Wolstenholmes sætning

Noter

↑ Jeffrey Lagarias. Et elementært problem svarende til Riemann-hypotesen // Amer. Matematik. Månedlige. - 2002. - Nr. 109 . - S. 534-543 .