Polynomisk højde

Højden og længden af et polynomium P med komplekse koefficienter er størrelser, der angiver "størrelsen" af polynomiet.

Disse udtryk bruges også i forhold til selve algebraiske tal : højden og længden af et algebraisk tal er højden og længden af dets minimale polynomium .

Definition

For et polynomium P af grad n givet ved formlen

P=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},

højden H ( P ) er den maksimale (modulo) værdi af dens koefficienter:

H(P)={\underset {i}{\max }}\,|a_{i}|,

og længden L ( P ) er summen af koefficienternes absolutte værdier:

L(P)=\sum _{i=0}^{n}|a_{i}|.\,

Forbindelse med Mahler-målet

Mahler-målet M ( P ) af et polynomium P er også et mål for størrelsen af et polynomium P. De tre funktioner H ( P ), L ( P ) og M ( P ) er forbundet med ulighederne

{\binom {n}{\lgulv n/2\rgulv ))^{-1}H(P)\leq M(P)\leq H(P){\sqrt {n+1));

L(p)\leq 2^{n}M(p)\leq 2^{n}L(p);

H(p)\leq L(p)\leq nH(p)

hvor er den binomiale koefficient . $\scriptstyle {\binom {n}{\lgulv n/2\rgulv ))$

Noter

Litteratur

Peter Borwein. . - Springer-Verlag , 2002. - S. 2,3,142,148. - (CMS-bøger i matematik). — ISBN 0-387-95444-9 .
K. Mahler. Om to ekstremum egenskaber af polynomier // Illinois J. Math .. - 1963. - T. 7 . — S. 681–701 .
Andrzej Schinzel . Polynomier med særlig hensyn til reduktion. - Cambridge: Cambridge University Press , 2000. - V. 77. - S. 212. - (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications). — ISBN 0-521-66225-7 .

Polynomisk højde

Definition

Forbindelse med Mahler-målet

Noter

Litteratur

Links