Konveks metrisk rum

Konvekse metriske rum defineres intuitivt som metriske rum med den egenskab, at ethvert "segment", der forbinder to punkter i det rum, indeholder andre punkter end dets ender.

Definition

Betragt et metrisk rum ( X , d ), og lad x og y være to punkter i X. Et punkt z i X er mellem x og y , hvis alle tre punkter er parvis adskilte, og

d(x,z)+d(z,y)=d(x,y),

det vil sige , at trekanten ulighed bliver en lighed. Et konveks metrisk rum er et metrisk rum ( X , d ), således at der for to forskellige punkter x og y i X er et tredje punkt z i X , der ligger mellem x og y .

Noter

Metrisk bule:

medfører ikke konveksitet i sædvanlig forstand for delmængder af det euklidiske rum (se eksemplet med rationale tal)
medfører ikke forbindelse (se eksemplet med rationelle tal)
medfører ikke geodætisk konveksitet (engelsk) af Riemannske manifolder (f.eks. kan man overveje et euklidisk rum med en lukket skive udskåret).

Eksempler

Euklidiske rum, det vil sige det sædvanlige tredimensionelle rum og dets analoger til andre dimensioner, er konvekse metriske rum. Givet to vilkårlige adskilte punkter og i et sådant mellemrum, danner sættet af alle punkter, der opfylder ovenstående "trekant-lighed", et linjestykke mellem og som altid indeholder andre punkter end og Faktisk indeholder det et kontinuum af punkter . $x$ $y$ $z$ $x$ $y,$ $x$ $y.$

Ethvert konveks sæt i et euklidisk rum danner et konveks metrisk rum med den inducerede euklidiske norm. jeg. For lukkede mængder gælder det omvendte også: hvis en lukket delmængde af et euklidisk rum, sammen med den inducerede afstand, er et konveks metrisk rum, så er det også et konveks sæt (dette er et specialtilfælde af den mere generelle sætning, der betragtes under).
En cirkel er et konveks metrisk rum, hvis afstanden mellem to punkter er defineret som længden af den korteste bue, der forbinder disse punkter på cirklen.

Metriske segmenter

Lad være et vilkårligt metrisk rum (ikke nødvendigvis konveks). En delmængde kaldes et metrisk segment mellem to adskilte punkter og ved, hvis der er et numerisk segment og en isometrisk afbildning $(X,d)$ $S\subset X$ $x$ $y$ $x,$ $[a,b]$

\gamma :[a,b]\til X,

sådan at og $\gamma ([a,b])=S,$ $\gamma (a)=x$ $\gamma (b)=y.$

Det er indlysende, at ethvert punkt i dette metriske segment , med undtagelse af dets "ender" og ligger mellem og. Som en konsekvens heraf, hvis der i et metrisk rum er metriske segmenter mellem to forskellige punkter i rummet, så er det en konveks metrisk rum. $S$ $x$ $y$ $x$ $y.$ $(X,d)$

Generelt er det modsatte ikke sandt. De rationelle tal danner et konveks metrisk rum med den sædvanlige metriske, men der er intet segment, der forbinder to rationelle tal og kun består af rationelle tal. Ikke desto mindre, hvis er et konveks metrisk rum, og derudover er komplet , kan det bevises, at der for to punkter derinde eksisterer et metrisk segment, der forbinder dem, generelt set, ikke det eneste. $(X,d)$ $x\ney$ $x$

Konvekse metriske mellemrum og konvekse sæt

Som bemærket i eksempelafsnittet danner lukkede delmængder af et euklidisk rum konvekse metriske rum, hvis og kun hvis de er konvekse mængder. Det er naturligt at antage, at konvekse metriske rum er en generalisering af begrebet konveksitet, hvor lineære segmenter erstattes af metriske.

Det skal dog bemærkes, at metrisk konveksitet således defineret mangler en af de vigtigste egenskaber ved euklidiske konvekse mængder, nemlig konveksiteten af skæringspunktet mellem to konvekse sæt. Faktisk, som det blev påpeget i eksempelafsnittet, danner en cirkel med afstanden mellem to punkter, målt som længden af den korteste bue, der forbinder dem, et konveks og komplet metrisk rum .

Men hvis og er to punkter på en cirkel, der er diametralt modsat hinanden, så er der to metriske segmenter, der forbinder dem. Disse to buer er metrisk konvekse, men deres skæringspunkt er ikke metrisk konvekse. $x$ $y$ $\{x,y\}$

Se også

intern metrik

Bibliografi

Khamsi, Mohamed A.; Kirk, William A.Enintroduktion til metriske rum og fikspunktsteori . - Wiley-IEEE, 2001. - ISBN 0-471-41825-0 .

Kaplansky, Irving. Mængdeteori og metriske rum (neopr.) . - American Mathematical Society, 2001. - ISBN 0-8218-2694-8 .