Wave Pack

En bølgepakke ( tog af bølger ) er et bestemt sæt bølger med forskellige frekvenser , der beskriver en formation med bølgeegenskaber, generelt begrænset i tid og rum. I kvantemekanikken bidrog beskrivelsen af en partikel i form af bølgepakker således til vedtagelsen af en statistisk fortolkning af bølgefunktionens kvadrerede modul [1] .

En vilkårlig individuel bølge som funktion af radiusvektoren og tiden er beskrevet af udtrykket $\psi ({\mathbf {r}},t)$ $\mathbf {r}$ $t$

${\displaystyle {{\psi }({\mathbf {r} },t)}={A}~{\exp {(-i({\omega}t-{\mathbf {k} }{\mathbf { r} })))))={A}~{\exp {\frac {-i(Et-{\mathbf {p} }{\mathbf {r} })}{\hbar ))))$

hvor er den imaginære enhed, er energien båret af bølgen, er den reducerede Planck-konstant , er det momentum båret af bølgen, er dens cykliske frekvens (normale frekvenstider ), er bølgetallet (defineret som ; her er hastigheden af lys). $jeg$ $E$ $\hbar$ $s$ $\omega$ $2\pi$ $k$ $k={\frac {2{\pi }}{\lambda }}={\frac {p}{\hbar }}$ $c~-$

For en bølgebeskrivelse af en individuel partikel med en hvilemasse er det nødvendigt at opsummere et vist antal bølger med tætte frekvenser, og i dette tilfælde vil bølgefunktionen kun være mærkbart forskellig fra nul i et relativt lille område af rummet. Få en bølgepakke. $\psi(r,t)$

Vi danner en bølgepakke ud fra en superposition (sæt) af plane bølger, for hvilke bølgetallet varierer fra til (for nemheds skyld antager vi, at amplituderne forbliver konstante og ens på intervallet med hovedværdien ): $k$ $k_{0}-{\frac {\Delta k}{2))$ $k_{0}+{\frac {\Delta k}{2))$ ${\frac {A}{\Delta k))$

\psi (r,t)={\frac {A}{\Delta k}}\int \limits _{{k_{0}-{\frac {\Delta k}{2}}}}^{{k_ {0}+{\frac {\Delta k}{2}}}}\exp {\big (}-i(\omega t-kr){\big )}\,dk=\sum J_{n}\ psi _{n}

hvor nu angiver den resulterende bølgefunktion , og mængderne angiver bidragene fra bølgerne , hvorfra pakken er dannet, til den resulterende bølge, og . $\psi(r,t)$ ${\displaystyle J_{n))$ $\psi_{n}$ $\sum J_{n}^{2}=1$

Gruppehastighed

Gruppehastigheden er en kinematisk karakteristik af et dispersivt bølgemedium, sædvanligvis fortolket som hastigheden af den maksimale amplitudeindhylning af en smal kvasi-monokromatisk bølgepakke.

Vi udvider frekvensen i en Taylor-serie som en funktion af [2] : $\omega$ $k$

\omega (k)=\omega _{0}+(k-k_{0})\omega _{0}'+{\frac {(k-k_{0})^{2}}{2}} \omega _{0}''+\dots

Efter det, begrænser vi os kun til termer af den første orden af lillehed med hensyn til , finder vi: ${\displaystyle \Delta k=k-k_{0))$

\omega (k)=\omega _{0}+(k-k_{0})\omega _{0}'+\dots =\omega _{0}+\omega _{1}+\dots

Igen, kun under hensyntagen til vilkårene for den første orden af lillehed, efter integration over , får vi: $dk$

\psi (r,t)=B\exp {\big (}-i(\omega _{0}t-k_{0}r){\big )}

og den resulterende amplitude af bølgepakken vil være lig med $B$

B=A{\frac {\sin \xi }{\xi }}\,\qquad \xi ={\frac {\Delta k}{2}}\ (r-\omega _{0}'t)

Det følger heraf, at amplituden ikke forbliver konstant hverken i rum eller tid. Det ses også, at den rumlige fordeling af bølgepakken adlyder en lignende lov , hvor , , er nogle størrelser, der generelt er variable og afhænger af afstanden til punktet for hovedmaksimum og på tid. $B$ $a{\frac {\sin(bx)}{cx))$ $-en$ $b$ $c$ $x$

For at bestemme gruppehastigheden af bølgepakken som helhed er det nødvendigt at indstille , og derefter $u$ $\xi ={\rm {konst))$

u={\frac {dr}{dt}}=\omega _{0}'

Overvej nu den rumlige fordeling af bølgepakken. Lad . Så . Kvadraten af amplituden af bølgepakken når hovedmaksimum ved punktet c . De resterende maksima vil tilsvarende falde: , , , og ved punkterne forsvinder kvadratet af amplituden. $t=0$ $\xi =r{\frac {\Delta k}{2))$ ${\displaystyle B^{2}=A^{2}{\frac {\sin ^{2}\xi}{\xi ^{2))))$ $\xi =0$ $B^{2}(\pm {\frac {3\pi }{2)))={\frac {4A^{2}}{9\pi ^{2}}}$ $B^{2}(\pm {\frac {5\pi }{2)))={\frac {4A^{2}}{25\pi ^{2}}}$ $\ldots$ $\pm \pi ,\pm 2\pi ,\dots$

På grund af dette kan vi antage, at lokaliseringsområdet for hoveddelen af bølgepakken er placeret i nærheden af hovedmaksimumet. Det er mest rationelt at "bestemme", at dette areal svarer til halvdelen af afstanden mellem funktionens første nuller ( ). Så viser det sig at . Følgelig, $\Delta r$ $\xi$ $B=A{\frac {\sin \xi }{\xi }}$ $\xi _{0}=\pm \pi$ $\Delta \xi ={\frac {\Delta k\Delta r}{2))=\pi$

\Delta k\Delta r=2\pi .

Men matematisk set er bølgefunktionen ikke-nul og uden for pakken, så det ville være mere korrekt at skrive

\Delta k\Delta r\geqslant 2\pi

Da ( er bølgelængden), og ( er Plancks konstant (ikke reduceret!)), kan denne ulighed også omskrives som ${\displaystyle k=2{\pi }/{\lambda ))$ ${\lambda }$ ${\lambda }=h/p$ $h$

{\Delta }p{\Delta }r{\geq }h

Det repræsenterer Heisenberg-usikkerhedsforholdet , et af kvantemekanikkens mest grundlæggende principper. Dette forhold gælder for alle bølgeprocesser uden undtagelse, uanset deres natur. Så i radioteknik og optik er der en inkompatibilitet af akut lokalisering af de tilsvarende bølgeprocesser i tid og rum med et smalt frekvensspektrum. For eksempel er en selektiv radiomodtager ( ) ikke i stand til at opfange signaler, der er korte i tid osv. ${\Delta }{\omega }~{\rightarrow }~0$

Bølgepakkespredning

Lad os endelig overveje vilkårene for udvidelsen i Taylor-serien , der er kasseret i ovenstående formler . Det er klart, at en sådan tilnærmelse ikke altid er fysisk berettiget. I fravær af spredning ( ), når alle monokromatiske bølger, der danner en bølgepakke, forplanter sig med samme fasehastighed, ændres bølgepakkens begyndelsesform ikke med tiden, og maksimum af dens amplitude bevæger sig med en begyndelseshastighed lig med fasehastighed. Men hvis spredningen er forskellig fra nul ( ), det vil sige, hvis fasehastighederne for de enkelte bølgekomponenter er forskellige, vil den oprindelige form af pakken ændre sig over tid, det vil sige, at den vil sprede sig. ${\omega }$ ${\omega _{2}}=0$ ${\omega _{2}}~{\not =}~0$

Lad os estimere spredningstiden for bølgepakken. Til dette er det nødvendigt at tage højde for, når man overvejer integralet , den kvadratiske term for Taylor-serien , som kasseres i den første tilnærmelse. At tage det i betragtning fører til en ekstra fase ${\frac {A}({\Delta }k))\int \limits _{k_{0}-{\frac ({\Delta }k}{2))}^{k_{0}+ {\frac {{\Delta }k}{2}}}{\mathsf {exp}}(-i({\omega }t-kr))\,{\mathsf {d}}k$ ${\omega _{2}}(k)={\omega _{0}''}{\frac {(k-k_{0})^{2}}{2}}$

{\Delta }{\xi }~{\sim }~{\frac {({\Delta }k)^{2)){2)){\frac {({\partial }^{2} }{\omega }}{{\partial }{k}^{2}}}t

hvilket viser sig at være væsentligt, hvis det når størrelsesordenen . Derfor får vi udtrykket for bølgepakkens spredningstid ${\pi }$ ${\Delta }t$

{\Delta }t~{\cong}~{\frac {2{\pi }}({\frac {{{\partial }^{2}}{\omega }}{{\partial }{ k}^{2}}}({\Delta }k)^{2}}}

Vi anvender nu de opnåede konklusioner på de Broglie-bølger. Først og fremmest er vi opmærksomme på, at pakkens amplitude er mærkbart forskellig fra nul kun i et lille område af rummet, som kan være forbundet med partiklens placering. Yderligere, i det særlige tilfælde af de Broglie-bølger ( ), gruppehastigheden af partiklen som helhed $E={\hbar }{\omega },~~p={\hbar }k$

{\bar {u}}={\frac {{\partial }{\omega }}({\partial }k}}={\frac {{\partial }E}{{\partial }p} }={\frac {{c^{2}}p}{E}}=v

nøjagtigt lig med hastigheden af selve partiklen. Takket være dette er det muligt at sammenligne bevægelsen af hovedmaksima for bølgepakker med bevægelsen af individuelle partikler. Derfor kan positionen af en partikel i rummet karakteriseres ved kvadratet af bølgeamplituden , som samtidig er kvadratet af modulus af bølgefunktionen. $v$ ${B^{2}}={{\psi }^{*}}(r,t){\psi }(r,t)$

Lad os nu finde ud af: er det muligt at forbinde "psy"-bølger med strukturen af selve partiklen, eller beskriver de kun dens bevægelse? Synspunktet, der siger, at det er muligt, blev foreslået af Erwin Schrödinger kort efter hans opdagelse af kvantemekanikkens fundamentale ligning , som foreslog, at partiklen skulle være en flok bølger spredt ud i rummet, og dens tæthed ved en given punkt er lig med . Denne fortolkning viste sig imidlertid at være uholdbar: Som det blev vist ovenfor, er fasehastighederne for bølgerne, der danner bølgepakken, forskellige, og med tiden begynder den at sprede sig. ${{\psi }^{*}}(r,t){\psi }(r,t)$

Lad os finde spredningstiden for bølgepakken fra de Broglie-bølgerne. I dette tilfælde vil det kvadratiske led fra ovenstående Taylor-serie, som bestemmer variansen, være lig med

{\frac {{{\partial }^{2}}{\omega }}{({\partial }k}^{2}}}={\hbar }{\frac {{{\partial } ^{2}}{E}}{{{\partial }p}^{2}}}

For nemheds skyld begrænser vi os til den ikke-relativistiske tilnærmelse ( er partiklens hvilemasse). Derefter: $p~{\ll }~{m_{0}}c~,$ ${m_{0))$

{\frac {{\partial }E}{{\partial }p}}={\frac {p}{m_{0}}},~~~~~~{\frac {{{\partial }^{2}}{E}}{{{\partial }p}^{2}}}={\frac {1}{m_{0}}}

For at estimere spredningstiden for bølgepakken får vi (ifølge usikkerhedsrelationen og i lighed med ovenstående formel):

{\Delta }t~{\approx }~{\frac {h}({\frac {({\partial }^{2}}{E}}{{\partial }{p}^{2 ))}({\Delta }p)^{2}}}~{\approx }~{\frac {{m_{0}}({\Delta }r)^{2}}{h}}

I tilfælde af en makroskopisk partikel med en masse, for eksempel 1 gram og en størrelse cm, vil spredningstiden være sek., det vil sige, at en sådan bølgepakke faktisk ikke spredes. I tilfælde af en mikropartikel som en elektron, hvis masse er i størrelsesordenen gram, cm, vil bølgepakken spredes næsten øjeblikkeligt: sek. På grund af det faktum, at bølgepakken af en mikropartikel generelt spredes meget hurtigt, for at deres (partikler) kan beskrives med succes, bør en bølgepakke være sammensat af bølger, hvis bølgetalspredning er lille, dvs. ${{\Delta }r}=0,1$ ${{\Delta }t}={10^{25}}$ ${10^{-27))$ ${{\Delta }r}~{\sim }~{10^{-13}}$ ${{\Delta }t}~{\sim }~{10^{-26))$ ${{\Delta }k}~{\ll }~{k_{0))$

Hvis det synspunkt, som Schrödinger holdt sig til i denne henseende, var korrekt, kunne elektronen således ikke være en stabil formation. Desuden ville det være umuligt at forklare fænomenet diffraktion ved at erstatte elektronstrålen med et væld af bølgepakker.

På nuværende tidspunkt accepteres en anden "statistisk" fortolkning af -bølgen, foreslået af Max Born . Ifølge denne fortolkning har værdien betydningen af sandsynligheden (eller sandsynlighedsdensiteten ) for at finde en partikel på et givet punkt i rummet eller et uendeligt lille (i det generelle tilfælde blot et meget lille) volumenelement. ${\psi}$ ${{{\mid }{\psi }{\mid }}^{2}}=({\psi }^{*}}{\psi }$

Den statistiske fortolkning, som Born foreslår, relaterer ikke bølgefunktionen til partiklens struktur. Især intet "hindrer" elektronen i at forblive generelt punktlignende. Når bølgefunktionen ændres, ændres kun sandsynligheden for at finde en partikel på et tidspunkt i rummet. I lyset af denne idé er spredningen af bølgepakken i modstrid med partiklens stabilitet. I det begrænsende tilfælde af en monokromatisk bølge kan en partikel findes med lige stor sandsynlighed på ethvert punkt i rummet.

Se også

Noter

↑ Wave packet - artikel fra Physical Encyclopedia
↑ Bemærk: I formlerne her og nedenfor angiver primtal differentiering med hensyn til bølgetallet $k$

Litteratur

AA Sokolov, IM Ternov Kvantemekanik og atomfysik. - M . : "Oplysning", 1970. § 3.
L. A. Gribov, S. P. Mushtakova Kvantekemi. - M . : "Gardariki", 1999. Kapitel 1, s. fjorten.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantemekanik (ikke-relativistisk teori). - 6. udgave, revideret. — M .: Fizmatlit , 2004. — 800 s. - (" Teoretisk fysik ", bind III). — ISBN 5-9221-0530-2 .
Sivukhin DV Almen kursus i fysik. — Udgave 3, stereotypisk. - M . : Fizmatlit , MIPT , 2002. - T. IV. Optik. — 792 s. — ISBN 5-9221-0228-1 .