Wavelet transformation

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 2. maj 2022; checks kræver 6 redigeringer .

Wavelet transform ( engelsk Wavelet transform ) er en integral transformation , som er en foldning af en wavelet funktion med et signal. Wavelet-transformationen transformerer signalet fra tid til tids-frekvensrepræsentation .

En metode til at konvertere en funktion (eller signal) til en form, der enten gør nogle af værdierne af det originale signal mere tilgængelige at studere eller komprimerer det originale datasæt. Wavelet signal transformation er en generalisering af spektral analyse. Udtrykket ( engelsk wavelet ) i oversættelse fra engelsk betyder "lille bølge". Wavelets er et generaliseret navn for matematiske funktioner af en bestemt form, som er lokale i tid og frekvens, og hvor alle funktioner er opnået fra én base og ændrer den (forskydning, strækning).

Krav til wavelets

For at implementere wavelet-transformationen skal wavelet-funktionerne opfylde følgende kriterier [1] :

1. Wavelet skal have en endelig energi: $\psi (t)$

$E=\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}{|\psi (t)|}^{2}\,dt<\infty$

2. Hvis Fourier-transformationen for wavelet , dvs ${\hat {\psi ))(f)$ $\psi (t)$

${\hat {\psi }}(f)=\int \limits _{{-\infty }}^({\infty }}\psi (t)e^{{-i(2\pi f)t} }\,dt$

så skal følgende betingelse være opfyldt:

$C_{{\psi }}=\int \limits _{{0}}^({\infty }}{\frac {{|{\hat {\psi }}(f)|}^{2}}{ f}}\,df<\infty$

Denne betingelse kaldes tilladelighedsbetingelsen, og det følger af den, at waveleten med en nulfrekvenskomponent skal opfylde betingelsen eller i et andet tilfælde skal waveleten have et gennemsnit lig nul. ${\hat {\psi ))(0)=0$ $\psi (t)$

3. Et yderligere kriterium præsenteres for komplekse wavelets, nemlig at Fourier-transformationen for dem skal være samtidig reel og skal falde for negative frekvenser.

4. Lokalisering: wavelet skal være kontinuerlig, integrerbar, have en kompakt støtte og være lokaliseret både i tid (i rum) og i frekvens. Hvis waveleten indsnævres i rummet, så stiger dens gennemsnitlige frekvens, wavelet-spektret bevæger sig til området med højere frekvenser og udvider sig. Denne proces bør være lineær - indsnævring af wavelet til det halve bør øge dens gennemsnitlige frekvens og spektrale bredde også med en faktor to.

Egenskaber for wavelet-transformationen

1. Linearitet

${\text{WT}}[\alpha s_{1}(t)+\beta s_{2}(t)]=\alpha \,{\text{WT}}[s_{1}(t)]+ \beta \,{\text{WT}}[s_{2}(t)]$

2. Forskydningsinvarians

${\text{WT}}[s(t-t_{0})]=C(a,b-t_{0})$

Forskydningen af signalet i tid med t 0 fører til en ændring af wavelet-spektret også med t 0 .

3. Invarians under skalering

${\text{WT}}{\biggl [}s{\biggl (}{\frac t{a_{0}}}{\biggr )}{\biggr ]}={\frac 1{a_{0}} }C{\biggl (}{\frac a{a_{0}}},\,{\frac b{a_{0}}}{\biggr )}$

Udstrækning (komprimering) af signalet fører til kompression (strækning) af signalets wavelet-spektrum.

4. Differentiering

${\frac {d^{n}}{dt^{n}}}{\text{WT}}[s(t)]={\text{WT}}{\biggl [}{\frac {d^ {n}s(t)}{dt^{n))}{\biggr ]},\quad {\text{WT)){\biggl [}{\frac {d^{n}s(t)} {dt^{n))}{\biggr ]}=(-1)^{n}\!\int \limits _{{-\infty }}^({\infty }}s(t){\frac {d^{n}\psi (t)}{dt^{n}}}\,dt$

Det følger heraf, at det ikke gør nogen forskel, om man skal differentiere funktionen eller den analyserende wavelet. Hvis den analyserende wavelet er givet af en formel, kan den være meget nyttig til signalanalyse. Denne egenskab er især nyttig, hvis signalet er givet som en diskret serie.

Kontinuerlig wavelet transformation

Wavelet-transformationen for et kontinuerligt signal i forhold til wavelet-funktionen er defineret som følger[1]:

$T(a,b)={\frac {1}{{\sqrt {a))))\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}x(t)\psi ^{ *}\venstre({\frac {tb}{a}}\højre)\,dt$

hvor betyder det komplekse konjugat for , parameteren svarer til tidsforskydningen og kaldes positionsparameteren, parameteren specificerer skaleringen og kaldes strækparameteren. ${\psi }^{*}$ $\psi$ $b\in R$ $a>0$

$w(a)\equiv {\frac {1}{{\sqrt {a))))$ er vægtfunktionen.

Vi kan definere en normaliseret funktion som følger

${\psi }_{{a,b}}={\frac {1}{{\sqrt {a}}}}{\psi }\left({\frac {tb}{a}}\right)$

hvilket betyder tidsforskydning med b og tidsskalering med a . Så vil wavelet-transformationsformlen ændres til

$T(a,b)=\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}x(t)\,\psi _{{a,b}}^{*}\,dt$

Det oprindelige signal kan gendannes ved hjælp af den inverse transformationsformel

$x(t)={\frac {1}{C_{{\psi }}}}\int \limits _{{-\infty }}^({\infty }}\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}T(a,b)\,{\psi }_{{a,b}}(t)\,da\,db$

Diskret wavelet transformation

I det diskrete tilfælde er skaleringsparametrene a og skift b repræsenteret af diskrete værdier:

$a=a_{0}^{m},\quad b=nb_{0}$

Så har den analyserende wavelet følgende form:

$\psi _{{m,n}}=a_{0}^{{-m/2}}\psi \left({\frac {t-nb_{0}}{a_{0}^{m}} }\ret)$

hvor m og n er heltal.

I dette tilfælde, for et kontinuerligt signal, skrives den diskrete wavelet-transformation og dens inverse transformation af følgende formler:

$T_{{m,n}}=\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}x(t)\,\psi _{{m,n}}^{*}(t )\,dt$

Mængderne er også kendt som wavelet-koefficienter. $T_{{m,n}}$

$x(t)=K_{{\psi }}\sum \limits _{{m=-\infty }}^{{\infty }}\sum \limits _{{n=-\infty }}^{{ \infty }}T_{{m,n}}\psi _{{m,n}}(t)$

hvor er normaliseringskonstanten. $K_{{\psi ))$

Grafisk repræsentation

Ansøgning

Wavelet-transformationen er meget brugt til signalanalyse. Derudover finder den stor anvendelse inden for datakomprimering. I den diskrete wavelet-transformation er den mest signifikante information i signalet indeholdt ved høje amplituder, og den mindre nyttige information er indeholdt ved lave. Datakomprimering kan opnås ved at kassere lave amplituder. Wavelet-transformationen gør det muligt at opnå et højt kompressionsforhold i kombination med en god kvalitet af det rekonstruerede signal. Wavelet-transformationen blev valgt til JPEG2000- og ICER -billedkomprimeringsstandarderne . Ved lave kompressioner er wavelet-transformationen imidlertid ringere i kvalitet sammenlignet med den vindueserede Fourier-transformation , som ligger til grund for JPEG-standarden.

Valget af en specifik type og type wavelets afhænger i høj grad af de analyserede signaler og analyseopgaver. For at opnå optimale transformationsalgoritmer er der udviklet visse kriterier, men de kan endnu ikke betragtes som endelige, da de er interne i selve transformationsalgoritmerne og som udgangspunkt ikke tager hensyn til eksterne kriterier relateret til signaler og målene for deres transformationer. Det følger heraf, at i den praktiske brug af wavelets er det nødvendigt at være tilstrækkelig opmærksom på at kontrollere deres ydeevne og effektivitet for de fastsatte mål i sammenligning med kendte metoder til behandling og analyse.

Fordele og ulemper

Fordele:

Wavelet-transformationer har alle fordelene ved Fourier-transformationer.
Wavelet-baser kan godt lokaliseres både i frekvens og i tid. Ved adskillelse af vellokaliserede flerskalaprocesser i signaler kan kun de skalaniveauer af nedbrydning, der er af interesse, tages i betragtning.
Basis wavelets kan implementeres af funktioner med forskellig glathed.

Fejl:

En ulempe kan fremhæves - dette er den relative kompleksitet af transformationen.

Noter

↑ Addison PS The Illustrated Wavelet Transform Handbook. - IOP, 2002.